При вирішенні практичних завдань можуть зустрітися випадкові величини, що мають різні розподіли, але однакові математичні очікування. При цьому в одних із цих величин відхилення значень від математичного очікування невеликі, в інших, навпаки, можуть бути значними. Інакше кажучи, величини можуть мати різний розкид значень навколо математичного очікування.
Наприклад, двох дискретних випадкових величин, заданих такими законами:
| Х | -1 | і | Y | -100 | ||||
| Р | 0,3 | 0,4 | 0,3 | Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
математичні очікування рівні, тобто. М(Х)=М(Y) = 0. Однак, зрозуміло, що це різні випадкові величини і, насамперед, вони відрізняються розкидом значень по осі абсцис ліворуч і праворуч від точки 0 свого математичного очікування.
Наведені міркування свідчать, що було б доцільно ввести на розгляд деяку числову характеристику, пов'язану з розкидом. На перший погляд може здатися, що такою характеристикою може бути середнє всіх відхилень можливих значень випадкової величини від математичного очікування.
Відхиленням випадкової величини Хвід свого математичного очікування М(Х) називається різниця між випадковою величиною та її математичним очікуванням.
Очевидно, що відхилення є випадковою величиною. Знайдемо середнє відхилення, тобто. математичне очікування відхилення, отримаємо M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) =M(X) – M(X) = 0.
Отже, математичне очікування відхилення випадкової величини дорівнює нулю. Цей факт можна пояснити також тим, що можливі значення відхилення мають як позитивні, так і негативні знаки, тому при знаходженні середнього значення (математичного очікування) доданки взаємно знищуються. Уникнути цього можна, прибравши від'ємні знаки значень відхилення. Для цього ці значення або беруть абсолютною величиною, або зводять у квадрат. Перший шлях використовується дуже рідко, оскільки робота з абсолютними величинами викликає, як правило, серйозні труднощі, наприклад, при диференціювання. Тому як характеристику розкиду використовують математичне очікування квадрата відхилення.
Дисперсією D(X) випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення цієї випадкової величини від математичного очікування, тобто.
D(X) = M[(X – M(X)) 2 ] (6.4)
Саме слово "дисперсія" означає "розсіювання".
Неважко зрозуміти, що ймовірність значень випадкових величин Хі ( X – M(X)) 2 однакові. Для того, щоб величина ( X – M(X)) 2 прийняла значення, наприклад, ( х 1 – M(X)) 2 достатньо, щоб випадкова величина Хприйняла значення х 1 . Імовірність цієї події дорівнює р 1 , отже, і ймовірність того, що величина ( X – M(X)) 2 прийме значення ( х 1 – M(X)) 2 також дорівнює р 1 . Аналогічно і з іншими можливими значеннями. Тому формула (6.4) з урахуванням визначення математичного очікування випадкової величини набуде вигляду:
для дискретної випадкової величини з кінцевою множиною значень
для безперервної випадкової величини
(6.6)
Невласний інтеграл у формулі (6.6) перетворюється на певний інтеграл по кінцевому проміжку якщо значення безперервної випадкової величини є тільки в цьому проміжку.
Математичне очікування має таку ж розмірність, як і сама випадкова величина, на відміну дисперсії, яка має розмірність, рівну квадрату розмірності випадкової величини. Отже, дисперсія характеризує сам розкид, а квадрат розкиду значень випадкової величини. Для того щоб визначити сам середній розкид знаходять квадратний корінь з дисперсії та отримують нову числову характеристику, що називається середньоквадратичним відхиленням.
Середньоквадратичним відхиленням σ (Х) випадкової величини Хназивається квадратний корінь із дисперсії, тобто.
.
приклад 6.6 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини, заданої наступним рядом розподілу
Після обчислень, отримаємо
| (Х- М(Х)) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Знайдемо математичне очікування отриманої випадкової величини: D(X) = M[(X – M(X)) 2] = 1,69 · 0,3 +0,09 · 0,5 +7,29 · 0,2 = 2,01. ■
приклад 6.7 . Знайти дисперсію безперервної випадкової величини, заданої своєю функцією щільності: f(x)=0,5xпри хÎ(0,2); для інших хфункція щільності дорівнює нулю.
Рішення . За формулою (6.2) знайдемо математичне очікування, отримаємо
За формулою (6.6) знайдемо дисперсію, при цьому невласний інтеграл перетвориться на певний за заданим проміжком (0,2):
. ■
Для обчислення дисперсії часто застосовується інша формула, яка легко виходить із формули (6.4).
Теорема 6.1.Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата цієї випадкової величини та квадратом математичного очікування:
D(X) = M(X 2) – M 2 (X) (6.7)
Доведення.Перетворимо формулу (6.4), використовуючи властивості математичного очікування, отримаємо
Теорему доведено.
приклад 6.8 . Розв'яжемо приклад 6.6, використовуючи формулу (6.7). Математичне очікування було знайдено, воно одно М(Х) = 2,3. Тепер знайдемо закон розподілу величини Х 2 , отримаємо
| Х 2 | |||
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Знайдемо М(Х 2) = 1 · 0,3 + 4 · 0,5 + 25 · 0,2 = 7,3. Тоді дисперсія дорівнює
D(Х) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
Очевидно, що застосування формули (6.7) значно полегшує процес знаходження дисперсії. Зрозуміло, що цю формулу можна застосовувати й у знаходження дисперсії безперервної випадкової величини.
Властивості дисперсії
Дисперсія випадкової величини має наступні властивостями:
1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю, тобто. D(C) = 0, де З- Постійна величина.
Доведення.За визначенням дисперсії з використанням властивості математичного очікування, отримаємо
D(З) = M[(З – M(З)) 2 ]= M[(З – З) 2 ] =М(0)= 0.
Цей результат досить очевидний, оскільки постійна величина набуває всього одного значення, тому розкид значень відсутня.
Властивість доведено.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи їх у квадрат, тобто. D(СX) = З 2 D(X).
Доведення. За визначенням дисперсії з використанням властивостей математичного очікування, отримаємо
D(СГ) = M[(СГ – M(СГ)) 2 ]=M[(СГ – СM(Х)) 2 ]=M[З 2 (Х – M(Х)) 2 ]=
= З 2 M[(Х – M(Х)) 2 ]=З 2 D(X).
Властивість доведено.
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин, тобто якщо величини Хі Yнезалежні, то
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Доведення. Для доказу застосуємо формулу (6.7) та властивості математичного очікування, отримаємо
D(X+Y) = M((X+Y) 2) – M 2 (X+Y)=M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X+Y)) 2 =
=M(X 2) + M(2XY) + M(Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2) + 2M(X)M(Y) + M(Y 2) – – M 2 (X) –2M(X)M(Y) - M 2 (Y) = M(X 2) – M 2 (X) + M(Y 2) –M 2 (Y) = D(X) + D(Y).
Властивість доведено.
Слідство.Дисперсія суми кількох незалежних величин дорівнює сумі дисперсій цих величин.
Доказ можна здійснити методом математичної індукції.
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. D(X–Y) = D(X) + D(Y).
Доведення. Застосовуючи друге та третє властивості дисперсії, отримаємо D(X–Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) = D(X) + D(Y).
Властивість доведено.
Доведену властивість також легко поширити на будь-яку кінцеву кількість незалежних випадкових величин.
приклад 6.9 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х, що дорівнює кількості події Ав nнезалежних випробувань, якщо ймовірність появи Ау кожному випробуванні постійна і рівна р.
Рішення. Нехай випадкова величина Х- Число появи події Ав nвипробуваннях.
Введемо на розгляд ще nвипадкових величин:
Х 1 – кількість появи події Ау першому випробуванні;
Х 2 – кількість появи події Ау другому випробуванні;
…………………………………………………………….
Х n- Число появи події Ав n- ом випробуванні.
Очевидно, що Х=Х 1 +Х 2 +…+Х n. Величини Х 1 , Х 2 , …, Х n взаємно незалежні, оскільки результат кожного випробування залежить від результатів інших. Скористаємося наслідком четвертої властивості дисперсії, отримаємо
D(X) = D(X 1) + D(X 2) + …+ D(X n).
Знайдемо дисперсію величини Х 1 . Ряд розподілу цієї величини має вигляд:
| Х 1 | ||
| Р | 1−р | р |
Тоді М(Х 1) = р; М(Х 1 2) = р; D(X 1) = р – р 2 = р(1 – p)=pq.
Очевидно, що дисперсія кожної з інших випадкових величин також дорівнює pq. Тому
D(X) = D(X 1)+D(X 2)+…+D(X n) = npq. ■
Якщо досліджується деяка випадкова величина, у якої значення є досить великими числами, існує можливість перейти від цієї величини до простих величин, званим центрованої і стандартної.
Важливе значення характеристики випадкових величин має дисперсія.
Визначення. Дисперсією випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування
Слово «дисперсія» означає «розсіяння», тобто. Дисперсія характеризує розсіювання (розкиданість) значень випадкової величини при її математичному очікуванні.
З визначення слід, дисперсія – це стала величина, тобто. числова характеристика випадкової величини, що має розмірність квадрата випадкової величини.
З ймовірного погляду, Дисперсія є мірою розсіювання значень випадкової величини у її математичного очікування.
Справді, розглянемо дискретну випадкову величину, що має кінцеве безліч значень. Тоді, згідно з визначенням, дисперсія обчислюється за формулою
. (2)
Якщо дисперсія 
мала, то з формули (2) випливає, що малі доданки. Тому, якщо не розглядати значення 
, Яким відповідає мала ймовірність (такі значення практично неможливі), то всі інші значення 
мало відхиляються від математичного очікування 
. Отже, при малій дисперсії можливі значення випадкової величини концентруються біля її математичного очікування (за винятком, можливо, порівняно малого числа окремих значень). Якщо дисперсія 
велика, це означає великий розкид значень випадкової величини, концентрація значень випадкової величини біля якогось центру виключається.
приклад.
Нехай випадкові величини 
і 
мають наступне закони розподілу
Таблиця 9. Таблиця 10.
|
|
| ||||||||
|
|
|
Знайти математичні очікування та дисперсії цих випадкових величин.
Рішення. Скориставшись формулою для обчислення математичних очікувань, знаходимо
За допомогою формули (2) обчислимо дисперсії заданих випадкових величин
З отриманих результатів робимо висновок: математичні очікування випадкових величин 
і 
однакові, проте дисперсії різні. Дисперсія випадкової величини 
мала і ми бачимо, що її значення сконцентровано біля її математичного очікування 
. Навпаки, значення випадкової величини 
значно розсіяні щодо 
, а тому дисперсія 
має велике значення. ●
Властивість 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю
Доведення.
Властивість 2 . Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат
Доведення.
Властивість 3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій
Доведення. Скористаємося визначенням дисперсії та властивостями 3, 2 математичного очікування, маємо
Визначення.
Математичне очікування твору відхилень випадкових величин
і
від своїх математичних очікувань називаєтьсякореляційним моментом
цих величин
Якщо випадкові величини, величини 
і 
незалежні, то, скориставшись властивостями 6 та 7 математичних очікувань, знаходимо
Тому з формули 3 маємо
звідки остаточно слідує
За допомогою методу математичної індукції ця властивість може бути поширена у разі будь-якого кінцевого числа незалежних випадкових величин.
Властивість 4.
Дисперсія суми незалежних випадкових величин 
дорівнює сумі їх дисперсій
Властивість 5. Дисперсія різниці двох випадкових незалежних величин дорівнює сумі дисперсій цих величин
Доведення.
Властивість 6. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню
квадрата цієї величини мінус квадрат її математичного очікування
(Ця формула застосовується для обчислення дисперсії)
Доведення.
Математичне очікування та дисперсія – найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Математичне очікування часто називають просто середнім значенням довільної величини. Дисперсія випадкової величини – характеристика розсіювання, розкиданості випадкової величини у її математичного очікування.
Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.
Підійдемо до поняття математичного очікування. Нехай маса деякої речовини розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n. При цьому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу з ймовірністю p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує становище всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їх мас. Природно як така точка взяти центр маси системи матеріальних точок. Це середнє зважене значення випадкової величини X, в яке абсциса кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:
приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?
Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:
З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумі творів розмірів виграшів на ймовірність їх отримання.
приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості екземплярів книги.
Знайти очікуваний прибуток видавця.
Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:
| Число | Прибуток xi | Ймовірність pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всього: | 1,00 | 25000 |
Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:
.
приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрату снарядів, які забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.
Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:
.
приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .
Підказка: ймовірність значень випадкової величини знайти за формулі Бернуллі .
Розглянемо властивості математичного очікування.
Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:
Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:
Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:
Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.
Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Значення X | Ймовірність |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значення Y | Ймовірність |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:
Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питому вагу високо-і низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно знайти дисперсію випадкової величини.
Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня її дисперсії:
.
Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.
Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:
Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають
.
Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.
Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Рішення. Покажемо, як обчислюються ці величини для 3 альтернативи:
У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.
У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді в усіх - однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки він має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням - проект 4.
Наведемо властивості дисперсії.
Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:
,
де 
.
Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:
Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.
Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .
Закон розподілу випадкової величини:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6 . Знайти математичне очікування випадкової величини.
Приклад 9.В урні 6 білих і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсія даної випадкової величини:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий зміст: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.
Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.
Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .
Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.
Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.
Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.
Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.
Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.
Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.
У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.
Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.
Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?
Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.
Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?
Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.
Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.
Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.
Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.
Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.
Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.
Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.
Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.
Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.
Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою «сигмою». Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.
Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.
Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.
Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.
Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.
Дисперсія випадкової величини характеризує міру розкиду випадкової величини у її математичного очікування.
Якщо випадкова величина x має математичне очікування M x, то дисперсієювипадкової величини x називається величина D x = M (x - M x) 2 .
Легко показати, що D x = M (x - M x) 2 =M x 2 - M (x) 2 .
Ця універсальна формула однаково добре застосовується як дискретних випадкових величин, так безперервних. Величина M x 2 >для дискретних та безперервних випадкових величин відповідно обчислюється за формулами
, 
.
Для визначення міри розкидання значень випадкової величини часто використовується середньоквадратичне відхилення, пов'язане з дисперсією співвідношенням.
Основні властивості дисперсії:
51) Функцією розподілу називають функцію , Що визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки х, тобто.
Іноді замість терміну "Функція розподілу" використовують термін "Інтегральна функція".
Властивості функції розподілу:
1. Значення функції розподілу належить відрізку: 0 F(x) 1
2. F(x) - незменшувальна функція, тобто. F(x 2) F(x 1), якщо x 2 >x 1
Наслідок 1. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного в інтервалі (a,b), дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі:
P(a X Приклад 9. Випадкова величина Х задана функцією розподілу: Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення, що належить інтервалу (0; 2): P(0 Рішення: Оскільки на інтервалі (0;2) за умовою, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4) = 1/2. Отже, P(0 Наслідок 2. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного певного значення, дорівнює нулю. Наслідок 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать до інтервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при x a; 2) F(x)=1 при x b. Графік функції розподілу розташований у смузі, обмеженій прямими у=0, у=1 (перша властивість). При зростанні x в інтервалі (а;b), в якому укладені всі можливі значення випадкової величини, графік «піднімається нагору». При x a ординати графіка дорівнюють нулю; при x b ординати графіка дорівнюють одиниці: Функцією розподілувипадкової величини Хназивається функція F(x), що виражає для кожного хймовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення, менше х: функцію F(x)називають інтегральною функцією розподілучи інтегральним законом розподілу. Спосіб завдання безперервної випадкової величини за допомогою функції розподілу не є єдиним. Необхідно визначити деяку функцію, що відображає ймовірність потрапляння випадкової точки до різних ділянок області можливих значень безперервної випадкової величини. Т. е. уявити деяку заміну ймовірностям p i
для дискретної випадкової величини у безперервному випадку. Такою функцією є густина розподілу ймовірностей. Щільністю ймовірності (щільністю розподілу, диференціальною функцією) випадкової величини Хназивається функція f(x),що є першою похідною інтегральної функції розподілу.
Справедливі такі граничні співвідношення:
.
Тематичні матеріали:
Оновлено: 27.08.2023
103583
Якщо помітили помилку, виділіть фрагмент тексту та натисніть Ctrl+Enter
