Quando si risolvono problemi pratici, possono esserci variabili casuali che hanno distribuzioni diverse, ma le stesse aspettative matematiche. Allo stesso tempo, per alcuni di questi valori, le deviazioni dei valori dalle aspettative matematiche sono piccole, per altri, al contrario, possono essere significative. In altre parole, i valori possono avere una diversa diffusione dei valori attorno all’aspettativa matematica.
Ad esempio, per due variabili casuali discrete date dalle seguenti leggi:
| X | -1 | E | Y | -100 | ||||
| R | 0,3 | 0,4 | 0,3 | R | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
le aspettative matematiche sono uguali, cioè M(X)=M(Y)=0. Tuttavia, è chiaro che si tratta di variabili casuali diverse e, prima di tutto, differiscono nella diffusione dei valori lungo l'ascissa a sinistra e a destra del punto 0, la loro aspettativa matematica.
Il ragionamento sopra esposto suggerisce che sarebbe opportuno introdurre in considerazione alcune caratteristiche numeriche legate allo spread. A prima vista può sembrare che tale caratteristica possa essere il valore medio di tutte le deviazioni dei possibili valori di una variabile casuale rispetto alle aspettative matematiche.
Deviazione di una variabile casuale X dalle tue aspettative matematiche M(X) è la differenza tra una variabile casuale e la sua aspettativa matematica.
Ovviamente anche la deviazione è una variabile casuale. Troviamo il valore medio della deviazione, ovvero aspettativa matematica della deviazione, otteniamo M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) =M(X) – M(X) = 0.
Pertanto, l'aspettativa matematica della deviazione di una variabile casuale è pari a zero. Questo fatto può essere spiegato anche dal fatto che i possibili valori di deviazione hanno sia segni positivi che negativi, quindi, quando si trova il valore medio (aspettativa), i termini si annullano a vicenda. Ciò può essere evitato rimuovendo i segni negativi dei valori di deviazione. Per fare ciò, questi valori vengono presi in valore assoluto o al quadrato. Il primo modo viene utilizzato molto raramente, poiché lavorare con valori assoluti, di norma, causa serie difficoltà, ad esempio durante la differenziazione. Pertanto, come caratteristica dello spread viene utilizzata l'aspettativa matematica del quadrato della deviazione.
dispersione D(X) variabile casuale Xè chiamata aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una data variabile casuale dalla sua aspettativa matematica, cioè
D(X) = M[(X – M(X)) 2 ] (6.4)
La stessa parola "dispersione" significa "dispersione".
È facile capire che le probabilità dei valori delle variabili casuali X E ( X – M(X)) 2 sono uguali. Affinché il valore ( X – M(X)) 2 assume un valore, ad esempio ( X 1 – M(X)) 2 , è sufficiente che la variabile casuale X ha assunto il significato X 1 . La probabilità di questo evento è R 1 , quindi, la probabilità che il valore ( X – M(X)) 2 assumerà il valore ( X 1 – M(X)) Anche 2 è uguale a R 1 . Lo stesso vale per il resto dei valori possibili. Pertanto, la formula (6.4), tenendo conto della definizione dell'aspettativa matematica di una variabile casuale, assumerà la forma:
per una variabile casuale discreta con un insieme finito di valori
per una variabile casuale continua
(6.6)
L'integrale improprio nella formula (6.6) si trasforma in un integrale definito su un intervallo finito se ci sono valori di una variabile casuale continua solo in questo intervallo.
L'aspettativa matematica ha la stessa dimensione della variabile casuale stessa, in contrasto con la varianza, che ha una dimensione pari al quadrato della dimensione della variabile casuale. Pertanto, la varianza non caratterizza la dispersione stessa, ma il quadrato della dispersione dei valori di una variabile casuale. Per determinare lo spread medio stesso si trova la radice quadrata della dispersione e si ottiene una nuova caratteristica numerica, chiamata deviazione standard.
deviazione standard σ (X) variabile casuale Xè chiamata radice quadrata della varianza, cioè
.
Esempio 6.6 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta data dalla seguente serie di distribuzioni
Dopo i calcoli, otteniamo
| (X- M(X)) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Troviamo l'aspettativa matematica della variabile casuale ottenuta: D(X) = M[(X – M(X)) 2 ]=1,69 0,3+0,09 0,5+7,29 0,2=2,01. ■
Esempio 6.7 . Trova la varianza di una variabile casuale continua data dalla sua funzione di densità: F(X)=0,5X A Xí(0,2); per gli altri X la funzione di densità è zero.
Soluzione . Con la formula (6.2) troviamo l'aspettativa matematica, otteniamo
Utilizzando la formula (6.6), troviamo la varianza, mentre l'integrale improprio si trasforma in definito in un dato intervallo (0.2):
. ■
Per calcolare la varianza viene spesso utilizzata un'altra formula, facilmente ottenibile dalla formula (6.4).
Teorema 6.1. La varianza di una variabile casuale è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato di questa variabile casuale e il quadrato dell'aspettativa matematica:
D(X) = M(X 2) – M 2 (X) (6.7)
Prova. Trasformiamo la formula (6.4) utilizzando le proprietà dell'aspettativa matematica, otteniamo
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio 6.8 . Risolviamo l'Esempio 6.6 utilizzando la formula (6.7). L'aspettativa matematica è stata trovata, è uguale a M(X)=2.3. Ora troviamo la legge di distribuzione della quantità X 2, otteniamo
| X 2 | |||
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Cerchiamo M(X 2) = 1 0,3 + 4 0,5 + 25 0,2 = 7,3. Quindi la varianza è
D(X) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
È ovvio che l'applicazione della formula (6.7) semplifica notevolmente il processo di determinazione della varianza. È chiaro che la stessa formula può essere utilizzata per trovare la varianza di una variabile casuale continua.
Proprietà di dispersione
La varianza di una variabile casuale è la seguente proprietà:
1. La dispersione di un valore costante è pari a zero, cioè D(C) = 0, dove CONè un valore costante.
Prova. Per definizione della varianza utilizzando la proprietà aspettativa, otteniamo
D(CON) = M[(CON – M(CON)) 2 ]= M[(CON – CON) 2 ] =M(0)= 0.
Questo risultato è abbastanza ovvio, poiché la costante assume un solo valore, quindi non c'è dispersione di valori.
La proprietà è stata dimostrata.
2. È possibile eliminare un fattore costante dal segno di dispersione elevandolo al quadrato, ovvero D(CX) = CON 2 D(X).
Prova. Per definizione della varianza utilizzando le proprietà dell'aspettativa matematica, otteniamo
D(SH) = M[(SH – M(SH)) 2 ]=M[(SH – CM(X)) 2 ]=M[CON 2 (X – M(X)) 2 ]=
=C 2 M[(X – M(X)) 2 ]=CON 2 D(X).
La proprietà è stata dimostrata.
3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili, cioè se le quantità X E Y indipendente, quindi
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Prova. Per la dimostrazione applichiamo la formula (6.7) e otteniamo le proprietà dell'aspettativa matematica
D(X+Y) = M((X+Y) 2) – M 2 (X+Y)=M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X+Y)) 2 =
=M(X 2) + M(2XY) +M(Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2) + 2M(X)M(Y) +M(Y 2) – – M 2 (X) –2M(X)M(Y) -M 2 (Y) = M(X 2) – M 2 (X) + M(Y 2) –M 2 (Y) = D(X) + D(Y).
La proprietà è stata dimostrata.
Conseguenza. La varianza della somma di più quantità indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste quantità.
La dimostrazione può essere effettuata per induzione matematica.
4. La varianza della differenza di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze, cioè D(X–Y) = D(X) + D(Y).
Prova. Applicando la seconda e la terza proprietà della dispersione, otteniamo D(X–Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) = D(X) + D(Y).
La proprietà è stata dimostrata.
La proprietà dimostrata può anche essere facilmente estesa a qualsiasi numero finito di variabili casuali indipendenti.
Esempio 6.9 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta X, pari al numero di occorrenze dell'evento UN V N test indipendenti, se la probabilità di accadimento UN in ogni test è costante e uguale R.
Soluzione. Consideriamo la variabile casuale X– numero di occorrenze dell'evento UN V N test.
Consideriamo anche N variabili casuali:
X 1 - numero di occorrenze dell'evento UN nella prima prova;
X 2 - numero di occorrenze dell'evento UN nella seconda prova;
…………………………………………………………….
Xn– numero di occorrenze dell'evento UN V N-Oh prova.
E' ovvio X=X 1 +X 2 +…+Xn. Le quantità X 1 , X 2 , …, X n sono reciprocamente indipendenti, poiché l'esito di ciascuna prova non dipende dall'esito delle altre. Usiamo il corollario della quarta proprietà di dispersione, otteniamo
D(X) = D(X 1) + D(X 2) + …+ D(X N).
Trova la varianza della quantità X 1 . La serie di distribuzione di questa quantità ha la forma:
| X 1 | ||
| R | 1−R | R |
Poi M(X 1) = R; M(X 1 2) = R; D(X 1) = R – R 2 = R(1 – P)=pq.
Ovviamente anche la varianza di ciascuna delle altre variabili casuali è uguale a pq. Ecco perché
D(X) = D(X 1)+D(X 2)+…+D(X n) = npq. ■
Se viene indagata qualche variabile casuale, i cui valori sono numeri sufficientemente grandi, allora è possibile passare da questa variabile a variabili più semplici, dette centrate e standard.
La dispersione è importante per caratterizzare le variabili casuali.
Definizione. dispersione la variabile casuale è chiamata aspettativa matematica del quadrato della deviazione della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica
La parola "dispersione" significa "dispersione", cioè la varianza caratterizza la dispersione (dispersione) dei valori di una variabile casuale attorno alla sua aspettativa matematica.
Dalla definizione segue che la dispersione è un valore costante, cioè caratteristica numerica di una variabile casuale, che ha la dimensione del quadrato di una variabile casuale.
Da un punto di vista probabile, la varianza è una misura della dispersione dei valori di una variabile casuale attorno alla sua aspettativa matematica.
Consideriamo infatti una variabile casuale discreta che ha un insieme finito di valori. Quindi, secondo la definizione, la varianza viene calcolata dalla formula
. (2)
Se la varianza 
è piccolo, dalla formula (2) segue che i termini sono piccoli. Pertanto, se non consideriamo i valori 
, che corrispondono ad una probabilità bassa (valori del genere sono praticamente impossibili), quindi tutti gli altri valori 
deviare leggermente dalle aspettative matematiche 
. Quindi, con piccola dispersione, i possibili valori di una variabile casuale sono concentrati attorno alla sua aspettativa matematica (con la possibile eccezione di un numero relativamente piccolo di valori individuali). Se la varianza 
è grande, ciò significa una grande dispersione dei valori della variabile casuale, è esclusa la concentrazione dei valori della variabile casuale vicino a qualche centro.
Esempio.
Consideriamo le variabili casuali 
E 
hanno le seguenti leggi di distribuzione
Tabella 9. Tabella 10.
|
|
| ||||||||
|
|
|
Trova le aspettative matematiche e le varianze di queste variabili casuali.
Soluzione. Usando la formula per il calcolo delle aspettative matematiche, troviamo
Usando la formula (2), calcoliamo le varianze di determinate variabili casuali
Dai risultati ottenuti concludiamo: aspettative matematiche di variabili casuali 
E 
sono gli stessi, ma le variazioni sono diverse. Varianza di una variabile casuale 
è piccolo e vediamo che il suo valore è concentrato attorno al suo valore atteso 
. Al contrario, i valori della variabile casuale 
significativamente disperso rispetto a 
, quindi la varianza 
è di grande importanza. ●
Proprietà 1. La dispersione di un valore costante è zero
Prova.
Proprietà 2 . Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato
Prova.
Proprietà 3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze
Prova. Usiamo la definizione di varianza e le proprietà 3, 2 dell'aspettativa matematica che abbiamo
Definizione.
Aspettativa matematica del prodotto delle deviazioni di variabili casuali
E
dalle loro aspettative matematiche viene chiamatomomento di correlazione
queste quantità
Se variabili casuali, quantità 
E 
sono indipendenti, quindi, utilizzando le proprietà 6 e 7 delle aspettative matematiche, troviamo
Pertanto, dalla formula 3 abbiamo
da dove infine segue
Utilizzando il metodo dell'induzione matematica, questa proprietà può essere estesa al caso di un numero finito di variabili casuali indipendenti.
Proprietà 4.
Dispersione della somma di variabili casuali indipendenti 
è uguale alla somma delle loro varianze
Proprietà 5. La varianza della differenza di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili
Prova.
Proprietà 6. La varianza di una variabile casuale è uguale all'aspettativa matematica
il quadrato di questa quantità meno il quadrato della sua aspettativa matematica
(Questa formula viene utilizzata per calcolare la varianza)
Prova.
L'aspettativa matematica e la varianza sono le caratteristiche numeriche più comunemente utilizzate di una variabile casuale. Caratterizzano le caratteristiche più importanti della distribuzione: la sua posizione e il grado di dispersione. L'aspettativa matematica viene spesso definita semplicemente come media. variabile casuale. Dispersione di una variabile casuale - una caratteristica della dispersione, dispersione di una variabile casuale intorno alla sua aspettativa matematica.
In molti problemi pratici, una descrizione completa ed esaustiva di una variabile casuale - la legge della distribuzione - non può essere ottenuta o non è affatto necessaria. In questi casi, si limitano a una descrizione approssimativa di una variabile casuale utilizzando caratteristiche numeriche.
Veniamo al concetto di aspettativa matematica. Lascia che la massa di una sostanza sia distribuita tra i punti dell'asse x X1 , X 2 , ..., X N. Inoltre, a ciascun punto materiale corrisponde una massa con probabilità pari a P1 , P 2 , ..., P N. È necessario selezionare un punto sull'asse x, che caratterizza la posizione dell'intero sistema di punti materiali, tenendo conto delle loro masse. È naturale considerare come tale il centro di massa del sistema di punti materiali. Questa è la media ponderata della variabile casuale X, in cui l'ascissa di ciascun punto Xio entra con un “peso” pari alla probabilità corrispondente. Il valore medio della variabile casuale così ottenuta Xè detta aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle probabilità di questi valori:
Esempio 1È stata organizzata una lotteria vantaggiosa per tutti. Le vincite sono 1000, di cui 400 da 10 rubli ciascuna. 300 - 20 rubli ciascuno 200 - 100 rubli ciascuno. e 100-200 rubli ciascuno. Qual è la vincita media per una persona che acquista un biglietto?
Soluzione. Troveremo la vincita media se l'importo totale delle vincite, pari a 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubli, viene diviso per 1000 (l'importo totale delle vincite). Quindi otteniamo 50000/1000 = 50 rubli. Ma l’espressione per il calcolo del guadagno medio può essere rappresentata anche nella forma seguente:
D’altronde, in queste condizioni, l’importo delle vincite è una variabile casuale che può assumere i valori di 10, 20, 100 e 200 rubli. con probabilità pari rispettivamente a 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Pertanto, il profitto medio atteso è pari alla somma dei prodotti tra l’entità dei profitti e la probabilità di riceverli.
Esempio 2 L'editore ha deciso di pubblicare un nuovo libro. Venderà il libro per 280 rubli, di cui 200 gli verranno dati, 50 alla libreria e 30 all'autore. La tabella fornisce informazioni sul costo di pubblicazione di un libro e sulla probabilità di vendere un certo numero di copie del libro.
Trova il profitto atteso dell'editore.
Soluzione. La variabile casuale "profitto" è pari alla differenza tra il ricavo derivante dalla vendita e il costo dei costi. Ad esempio, se vengono vendute 500 copie di un libro, il reddito derivante dalla vendita sarà 200 * 500 = 100.000 e il costo di pubblicazione sarà di 225.000 rubli. Pertanto, l'editore subisce una perdita di 125.000 rubli. La tabella seguente riassume i valori attesi della variabile casuale - profitto:
| Numero | Profitto Xio | Probabilità Pio | Xio P io |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Totale: | 1,00 | 25000 |
Pertanto, otteniamo l'aspettativa matematica del profitto dell'editore:
.
Esempio 3 Possibilità di colpire con un colpo P= 0,2. Determinare il consumo di proiettili che forniscono l'aspettativa matematica del numero di colpi pari a 5.
Soluzione. Dalla stessa formula di aspettativa che abbiamo usato finora, esprimiamo X- consumo di gusci:
.
Esempio 4 Determinare l'aspettativa matematica di una variabile casuale X numero di colpi con tre colpi, se la probabilità di colpire con ogni colpo P = 0,4 .
Suggerimento: trova la probabilità dei valori di una variabile casuale di Formula di Bernoulli .
Considera le proprietà dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a questa costante:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno di aspettativa:
Proprietà 3. L'aspettativa matematica della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 4. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 5. Se tutti i valori della variabile casuale X diminuire (aumentare) dello stesso numero CON, allora la sua aspettativa matematica diminuirà (aumenterà) dello stesso numero:
Nella maggior parte dei casi, solo l’aspettativa matematica non può caratterizzare adeguatamente una variabile casuale.
Consideriamo le variabili casuali X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| Senso X | Probabilità |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Senso Y | Probabilità |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Le aspettative matematiche di queste quantità sono le stesse - pari a zero:
Tuttavia, la loro distribuzione è diversa. Valore casuale X può assumere solo valori leggermente diversi dall'aspettativa matematica e dalla variabile casuale Y può assumere valori che si discostano significativamente dall'aspettativa matematica. Un esempio simile: il salario medio non consente di giudicare la proporzione tra lavoratori altamente e scarsamente retribuiti. In altre parole, in base all'aspettativa matematica non si può giudicare quali deviazioni da essa, almeno in media, siano possibili. Per fare ciò, devi trovare la varianza di una variabile casuale.
dispersione variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:
La deviazione standard di una variabile casuale Xè il valore aritmetico della radice quadrata della sua varianza:
.
Esempio 5 Calcolare varianze e deviazioni standard di variabili casuali X E Y, le cui leggi di distribuzione sono riportate nelle tabelle sopra.
Soluzione. Aspettative matematiche delle variabili casuali X E Y, come sopra riscontrato, sono pari a zero. Secondo la formula di dispersione per E(X)=E(sì)=0 otteniamo:
Quindi le deviazioni standard delle variabili casuali X E Y costituire
.
Quindi, con le stesse aspettative matematiche, la varianza della variabile casuale X molto piccolo e casuale Y- significativo. Questa è una conseguenza della differenza nella loro distribuzione.
Esempio 6 L'investitore ha 4 progetti di investimento alternativi. La tabella riassume i dati sul profitto atteso in questi progetti con la corrispondente probabilità.
| Progetto 1 | Progetto 2 | Progetto 3 | Progetto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Trova per ciascuna alternativa l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard.
Soluzione. Mostriamo come vengono calcolate queste quantità per la 3a alternativa:
La tabella riassume i valori trovati per tutte le alternative.
Tutte le alternative hanno la stessa aspettativa matematica. Ciò significa che nel lungo periodo tutti hanno lo stesso reddito. La deviazione standard può essere interpretata come una misura del rischio: maggiore è, maggiore è il rischio dell'investimento. Un investitore che non vuole rischiare molto sceglierà il progetto 1 perché ha la deviazione standard più piccola (0). Se l'investitore preferisce il rischio e rendimenti elevati in un breve periodo, sceglierà il progetto con la deviazione standard maggiore: progetto 4.
Presentiamo le proprietà della dispersione.
Proprietà 1. La dispersione di un valore costante è zero:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:
.
Proprietà 3. La varianza di una variabile casuale è pari all'aspettativa matematica del quadrato di tale valore, da cui viene sottratto il quadrato dell'aspettativa matematica del valore stesso:
,
Dove 
.
Proprietà 4. La varianza della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro varianze:
Esempio 7È noto che una variabile casuale discreta X assume solo due valori: −3 e 7. Inoltre, l'aspettativa matematica è nota: E(X) = 4 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta.
Soluzione. Denotare con P la probabilità con cui una variabile casuale assume un valore X1 = −3 . Quindi la probabilità del valore X2 = 7 sarà 1 − P. Deriviamo l'equazione per l'aspettativa matematica:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
dove otteniamo le probabilità: P= 0,3 e 1 − P = 0,7 .
La legge della distribuzione di una variabile casuale:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Calcoliamo la varianza di questa variabile casuale utilizzando la formula della proprietà 3 della varianza:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Esempio 8 Variabile casuale discreta X assume solo due valori. Prende il valore maggiore di 3 con una probabilità di 0,4. Inoltre, è nota la varianza della variabile casuale D(X) = 6 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale.
Esempio 9 Un'urna contiene 6 palline bianche e 4 nere. Dall'urna si estraggono 3 palline. Il numero di palline bianche tra quelle estratte è una variabile casuale discreta X. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.
Soluzione. Valore casuale X può assumere i valori 0, 1, 2, 3. Le probabilità corrispondenti possono essere calcolate da regola della moltiplicazione delle probabilità. La legge della distribuzione di una variabile casuale:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Da qui l'aspettativa matematica di questa variabile casuale:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza di una determinata variabile casuale è:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Per una variabile casuale continua, l'interpretazione meccanica dell'aspettativa matematica manterrà lo stesso significato: il centro di massa per un'unità di massa distribuita continuamente sull'asse x con densità F(X). A differenza di una variabile casuale discreta, per la quale l'argomento della funzione Xio cambia bruscamente, per una variabile casuale continua, l'argomento cambia continuamente. Ma l’aspettativa matematica di una variabile casuale continua è legata anche al suo valore medio.
Per trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale continua, è necessario trovare integrali definiti . Se viene data una funzione di densità di una variabile casuale continua, allora entra direttamente nell'integrando. Se viene fornita una funzione di distribuzione della probabilità, differenziandola è necessario trovare la funzione di densità.
La media aritmetica di tutti i possibili valori di una variabile casuale continua è chiamata sua aspettativa matematica, indicato con o .
La teoria della probabilità è una branca speciale della matematica che viene studiata solo dagli studenti degli istituti di istruzione superiore. Ami i calcoli e le formule? Non hai paura della prospettiva di conoscere la distribuzione normale, l'entropia dell'insieme, l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale discreta? Allora questo argomento ti sarà di grande interesse. Facciamo conoscenza con alcuni dei concetti di base più importanti di questa sezione della scienza.
Anche se ricordi i concetti più semplici della teoria della probabilità, non trascurare i primi paragrafi dell'articolo. Il fatto è che senza una chiara comprensione delle basi, non sarai in grado di lavorare con le formule discusse di seguito.
Quindi c'è qualche evento casuale, qualche esperimento. Come risultato delle azioni eseguite, possiamo ottenere diversi risultati: alcuni sono più comuni, altri meno comuni. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di risultati effettivamente ottenuti di un tipo e il numero totale di quelli possibili. Solo conoscendo la definizione classica di questo concetto, puoi iniziare a studiare l'aspettativa matematica e la dispersione delle variabili casuali continue.
Ai tempi della scuola, durante le lezioni di matematica, hai iniziato a lavorare con la media aritmetica. Questo concetto è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità e quindi non può essere ignorato. La cosa principale per noi in questo momento è che lo incontreremo nelle formule per l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale.
Abbiamo una sequenza di numeri e vogliamo trovare la media aritmetica. Tutto ciò che ci viene richiesto è sommare tutto ciò che è disponibile e dividerlo per il numero di elementi nella sequenza. Prendiamo i numeri da 1 a 9. La somma degli elementi sarà 45 e divideremo questo valore per 9. Risposta: - 5.
In termini scientifici, la varianza è il quadrato medio delle deviazioni dei valori delle caratteristiche ottenuti dalla media aritmetica. Uno è indicato con la lettera latina maiuscola D. Cosa è necessario per calcolarlo? Per ogni elemento della sequenza calcoliamo la differenza tra il numero disponibile e la media aritmetica e la eleviamo al quadrato. Ci saranno esattamente tanti valori quanti possono essere i risultati per l’evento che stiamo considerando. Successivamente, riassumiamo tutto ciò che abbiamo ricevuto e lo dividiamo per il numero di elementi nella sequenza. Se abbiamo cinque possibili risultati, dividi per cinque.
La varianza ha anche proprietà che è necessario ricordare per poterla applicare durante la risoluzione dei problemi. Ad esempio, se la variabile casuale viene aumentata di X volte, la varianza aumenta di X volte il quadrato (cioè X*X). Non è mai inferiore a zero e non dipende dallo spostamento dei valori di un valore uguale verso l'alto o verso il basso. Inoltre, per prove indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze.
Ora dobbiamo assolutamente considerare esempi di varianza di una variabile casuale discreta e di aspettativa matematica.
Diciamo che eseguiamo 21 esperimenti e otteniamo 7 risultati diversi. Li abbiamo osservati ciascuno, rispettivamente, 1,2,2,3,4,4 e 5 volte. Quale sarà la varianza?
Per prima cosa calcoliamo la media aritmetica: la somma degli elementi, ovviamente, è 21. La dividiamo per 7, ottenendo 3. Ora sottraiamo 3 da ciascun numero nella sequenza originale, eleviamo al quadrato ciascun valore e sommiamo i risultati . Risulta 12. Ora resta da dividere il numero per il numero di elementi e, a quanto pare, è tutto. Ma c'è un problema! Discutiamone.
Si scopre che quando si calcola la varianza, il denominatore può essere uno di due numeri: N o N-1. Qui N è il numero di esperimenti eseguiti o il numero di elementi nella sequenza (che è essenzialmente la stessa cosa). Da cosa dipende?
Se il numero di test è misurato in centinaia, allora dobbiamo mettere N al denominatore, se in unità, allora N-1. Gli scienziati hanno deciso di tracciare il confine in modo abbastanza simbolico: oggi corre lungo il numero 30. Se avessimo condotto meno di 30 esperimenti, divideremo l'importo per N-1 e, se di più, per N.
Torniamo al nostro esempio di risoluzione del problema della varianza e delle aspettative. Abbiamo ottenuto un numero intermedio di 12, che doveva essere diviso per N o N-1. Dato che abbiamo condotto 21 esperimenti, ovvero meno di 30, sceglieremo la seconda opzione. Quindi la risposta è: la varianza è 12/2 = 2.
Passiamo al secondo concetto, che dobbiamo considerare in questo articolo. L'aspettativa matematica è il risultato della somma di tutti i possibili risultati moltiplicati per le probabilità corrispondenti. È importante comprendere che il valore risultante, così come il risultato del calcolo della varianza, viene ottenuto solo una volta per l'intero compito, indipendentemente dal numero di risultati considerati.
La formula matematica dell'aspettativa è abbastanza semplice: prendiamo il risultato, lo moltiplichiamo per la sua probabilità, aggiungiamo lo stesso per il secondo, terzo risultato, ecc. Tutto ciò che riguarda questo concetto è facile da calcolare. Ad esempio, la somma delle aspettative matematiche è uguale all'aspettativa matematica della somma. Lo stesso vale per il lavoro. Non tutte le quantità nella teoria della probabilità consentono di eseguire operazioni così semplici. Prendiamo un compito e calcoliamo il valore di due concetti che abbiamo studiato contemporaneamente. Inoltre, siamo stati distratti dalla teoria: è ora di esercitarci.
Abbiamo eseguito 50 prove e ottenuto 10 tipi di risultati - numeri da 0 a 9 - che appaiono in percentuali variabili. Questi sono rispettivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ricordiamo che per ottenere le probabilità è necessario dividere i valori percentuali per 100. Otteniamo quindi 0,02; 0,1 ecc. Presentiamo un esempio di risoluzione del problema relativo alla varianza di una variabile casuale e all'aspettativa matematica.
Calcoliamo la media aritmetica utilizzando la formula che ricordiamo dalle elementari: 50/10 = 5.
Ora traduciamo le probabilità nel numero di risultati "in pezzi" per rendere più conveniente il conteggio. Otteniamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 e 9. Sottrai la media aritmetica da ciascun valore ottenuto, dopodiché eleviamo al quadrato ciascuno dei risultati ottenuti. Guarda come farlo con il primo elemento come esempio: 1 - 5 = (-4). Inoltre: (-4) * (-4) = 16. Per altri valori, esegui queste operazioni tu stesso. Se hai fatto tutto bene, dopo aver aggiunto tutto ottieni 90.
Continuiamo a calcolare la varianza e la media dividendo 90 per N. Perché scegliamo N e non N-1? Esatto, perché il numero di esperimenti eseguiti supera i 30. Quindi: 90/10 = 9. Abbiamo ottenuto la dispersione. Se ricevi un numero diverso, non disperare. Molto probabilmente hai commesso un errore banale nei calcoli. Ricontrolla ciò che hai scritto e sicuramente tutto andrà a posto.
Infine, ricordiamo la formula matematica delle aspettative. Non daremo tutti i calcoli, scriveremo solo la risposta con la quale potrete verificare dopo aver completato tutte le procedure richieste. Il valore previsto sarà 5,48. Ricordiamo solo come eseguire le operazioni, utilizzando l'esempio dei primi elementi: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... e così via. Come puoi vedere, moltiplichiamo semplicemente il valore del risultato per la sua probabilità.
Un altro concetto strettamente legato alla dispersione e all’aspettativa matematica è la deviazione standard. Si denota sia con le lettere latine sd, sia con la minuscola greca "sigma". Questo concetto mostra come, in media, i valori si discostino dalla caratteristica centrale. Per trovare il suo valore, è necessario calcolare la radice quadrata della varianza.
Se si traccia una distribuzione normale e si desidera vedere la deviazione al quadrato direttamente su di essa, è possibile farlo in più passaggi. Prendi metà dell'immagine a sinistra o a destra della modalità (valore centrale), disegna una perpendicolare all'asse orizzontale in modo che le aree delle figure risultanti siano uguali. Il valore del segmento compreso tra il centro della distribuzione e la proiezione risultante sull'asse orizzontale sarà la deviazione standard.
Come si può vedere dalle descrizioni delle formule e dagli esempi presentati, il calcolo della varianza e dell'aspettativa matematica non è la procedura più semplice dal punto di vista aritmetico. Per non perdere tempo, ha senso utilizzare il programma utilizzato nell'istruzione superiore: si chiama "R". Dispone di funzioni che consentono di calcolare valori per molti concetti della statistica e della teoria della probabilità.
Ad esempio, definisci un vettore di valori. Questo viene fatto come segue: vettore<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
La dispersione e l'aspettativa matematica sono elementi senza i quali è difficile calcolare qualcosa in futuro. Nel corso principale delle lezioni universitarie, vengono considerati già nei primi mesi di studio della materia. È proprio a causa della mancata comprensione di questi semplici concetti e dell'incapacità di calcolarli che molti studenti iniziano immediatamente a rimanere indietro nel programma e alla fine ricevono voti bassi, il che li priva delle borse di studio.
Esercitati almeno una settimana per mezz'ora al giorno, risolvendo compiti simili a quelli presentati in questo articolo. Quindi, in qualsiasi test di teoria della probabilità, affronterai esempi senza suggerimenti e trucchi estranei.
La dispersione di una variabile casuale caratterizza la misura della diffusione di una variabile casuale attorno alla sua aspettativa matematica.
Se la variabile casuale x ha l'aspettativa matematica M X, Quello dispersione la variabile casuale x è chiamata quantità D x= M (X - M X) 2 .
È facile dimostrarlo D x= M (X - M X) 2 =M X 2 - M (x) 2 .
Questa formula universale è ugualmente applicabile sia per le variabili casuali discrete che per quelle continue. Valore M X 2 >rispettivamente per variabili casuali discrete e continue, viene calcolato mediante le formule
, 
.
Per determinare la misura della diffusione dei valori di una variabile casuale, viene spesso utilizzata deviazione standard, legato alla dispersione mediante la relazione .
Le principali proprietà della dispersione:
51) La funzione di ripartizione si chiama funzione , che determina la probabilità che la variabile casuale assuma il valore rappresentato sull'asse numerico dal punto a sinistra del punto x, cioè
A volte, invece del termine "funzione di distribuzione", viene utilizzato il termine "funzione integrale".
Proprietà della funzione di distribuzione:
1. Il valore della funzione di distribuzione appartiene all'intervallo : 0 F(x) 1
2. F(x) è una funzione non decrescente, cioè F(x 2) F(x 1) se x 2 >x 1
Corollario 1. La probabilità che una variabile casuale assuma un valore contenuto nell'intervallo (a,b) è pari all'incremento della funzione di distribuzione su tale intervallo:
P(una X Esempio 9. Una variabile casuale X è data da una funzione di distribuzione: Determinare la probabilità che, come risultato del test, X assuma un valore appartenente all'intervallo (0; 2): P(0 Soluzione: poiché nell'intervallo (0;2) per condizione, F(x)=x/4+1/4, allora F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Quindi P(0 Corollario 2. La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore definito è pari a zero. Corollario 3. Se i possibili valori di una variabile casuale appartengono all'intervallo (a;b), allora: 1) F(x)=0 per x a; 2) F(x)=1 per x b. Il grafico della funzione di distribuzione si trova nella striscia delimitata dalle rette y=0, y=1 (la prima proprietà). All'aumentare di x nell'intervallo (a;b), che contiene tutti i possibili valori della variabile casuale, il grafico "si alza". Per x a le ordinate del grafico sono pari a zero; per x b le ordinate del grafico sono pari ad uno: funzione distributiva variabile casuale X chiamata funzione F(x) esprimendo per ciascuno X la probabilità che la variabile casuale X assume un valore inferiore a X: Funzione F(x) chiamato funzione di distribuzione cumulativa o legge di distribuzione integrale. Il metodo per specificare una variabile casuale continua utilizzando la funzione di distribuzione non è l'unico. È necessario definire una funzione che rifletta le probabilità che un punto casuale cada in diverse parti della regione dei possibili valori di una variabile casuale continua. Cioè, per fornire qualche sostituto alle probabilità pi
per una variabile casuale discreta nel caso continuo. Tale funzione è la distribuzione della densità di probabilità. Densità di probabilità (densità di distribuzione, funzione differenziale) variabile casuale X chiamata funzione f(x), che è la derivata prima della funzione di distribuzione integrale.
Valgono le seguenti relazioni limite:
.
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Aggiornato: 27/08/2023
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