Praktiliste ülesannete lahendamisel võib esineda juhuslikke muutujaid, millel on erinev jaotus, kuid samad matemaatilised ootused. Samal ajal on mõnede nende väärtuste puhul väärtuste kõrvalekalded matemaatilisest ootusest väikesed, teiste jaoks võivad need vastupidi olla märkimisväärsed. Teisisõnu, väärtustel võib olla erinev väärtuste jaotus matemaatilise ootuse ümber.
Näiteks kahe diskreetse juhusliku muutuja jaoks, mis on antud järgmiste seadustega:
| X | -1 | Ja | Y | -100 | ||||
| R | 0,3 | 0,4 | 0,3 | R | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
matemaatilised ootused on võrdsed, s.t. M(X)=M(Y)=0. Siiski on selge, et need on erinevad juhuslikud muutujad ja esiteks erinevad need väärtuste levimise poolest abstsissil punktist 0 vasakule ja paremale - nende matemaatiline ootus.
Ülaltoodud arutluskäik viitab sellele, et oleks soovitatav arvesse võtta mõningaid levikuga seotud arvulisi tunnuseid. Esmapilgul võib tunduda, et selline tunnus võib olla juhusliku suuruse võimalike väärtuste kõigi kõrvalekallete keskmine väärtus matemaatilisest ootusest.
Juhusliku suuruse hälve X teie matemaatilisest ootusest M(X) on erinevus juhusliku suuruse ja selle matemaatilise ootuse vahel.
Ilmselgelt on hälve ka juhuslik suurus. Leiame hälbe keskmise väärtuse, s.o. hälbe matemaatilise ootuse saame M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) =M(X) – M(X) = 0.
Seega on juhusliku suuruse hälbe matemaatiline ootus võrdne nulliga. Seda asjaolu võib seletada ka sellega, et võimalikel hälvetel on nii positiivseid kui ka negatiivseid märke, mistõttu keskmise väärtuse (ootuse) leidmisel terminid üksteist välistavad. Seda saab vältida kõrvalekallete väärtuste negatiivsete märkide eemaldamisega. Selleks võetakse need väärtused kas absoluutväärtuses või ruudus. Esimest võimalust kasutatakse äärmiselt harva, kuna absoluutväärtustega töötamine põhjustab reeglina tõsiseid raskusi, näiteks eristamisel. Seetõttu kasutatakse hajutuse tunnusena kõrvalekalde ruudu matemaatilist ootust.
dispersioon D(X) juhuslik muutuja X nimetatakse antud juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiliseks ootuseks selle matemaatilisest ootusest, s.o.
D(X) = M[(X – M(X)) 2 ] (6.4)
Sõna "dispersioon" ise tähendab "hajutamist".
On lihtne mõista, et juhuslike suuruste väärtuste tõenäosused X Ja ( X – M(X)) 2 on samad. Selleks et väärtus ( X – M(X)) 2 omandab väärtuse, näiteks ( X 1 – M(X)) 2 , piisab sellest, et juhuslik suurus X omandas tähenduse X 1 . Selle sündmuse tõenäosus on R 1, seega tõenäosus, et väärtus ( X – M(X)) 2 võtab väärtuse ( X 1 – M(X)) 2 on samuti võrdne R 1 . Sama kehtib ka ülejäänud võimalike väärtuste kohta. Seetõttu on valem (6.4), võttes arvesse juhusliku suuruse matemaatilise ootuse määratlust, järgmisel kujul:
lõpliku väärtuste hulgaga diskreetse juhusliku suuruse jaoks
pideva juhusliku muutuja jaoks
(6.6)
Valemis (6.6) olev vale integraal muutub lõpliku intervalli jooksul kindlaks integraaliks, kui pideva juhusliku suuruse väärtused on ainult selles intervallis.
Matemaatilisel ootusel on sama mõõde kui juhuslikul muutujal endal, erinevalt dispersioonist, mille mõõde on võrdne juhusliku suuruse mõõtme ruuduga. Seega ei iseloomusta dispersioon mitte hajumist ennast, vaid juhusliku suuruse väärtuste hajumise ruutu. Keskmise hajumise enda määramiseks leitakse dispersiooni ruutjuur ja saadakse uus arvkarakteristiku, mida nimetatakse standardhälbeks.
standardhälve σ (X) juhuslik suurus X nimetatakse dispersiooni ruutjuureks, s.o.
.
Näide 6.6 . Leidke diskreetse juhusliku suuruse dispersioon, mis on antud järgmise jaotusreaga
Pärast arvutusi saame
| (X- M(X)) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Leiame saadud juhusliku suuruse matemaatilise ootuse: D(X) = M[(X – M(X)) 2 ]=1,69 0,3+0,09 0,5+7,29 0,2=2,01. ■
Näide 6.7 . Leidke pideva juhusliku suuruse dispersioon selle tihedusfunktsiooniga: f(x)=0,5x juures Xн(0,2); teiste jaoks X tihedusfunktsioon on null.
Lahendus . Valemi (6.2) abil leiame matemaatilise ootuse, saame
Valemi (6.6) abil leiame dispersiooni, samas kui vale integraal muutub antud intervalli (0.2) jooksul kindlaks:
. ■
Dispersiooni arvutamiseks kasutatakse sageli teist valemit, mille saab hõlpsasti valemist (6.4).
Teoreem 6.1. Juhusliku suuruse dispersioon on võrdne selle juhusliku suuruse ruudu matemaatilise ootuse ja matemaatilise ootuse ruudu vahega:
D(X) = M(X 2) – M 2 (X) (6.7)
Tõestus. Teisendame valemi (6.4) kasutades matemaatilise ootuse omadusi, saame
Teoreem on tõestatud.
Näide 6.8 . Lahendame valemi (6.7) abil näite 6.6. Matemaatiline ootus leiti, see on võrdne M(X)=2,3. Nüüd leiame suuruse jaotusseaduse X 2, saame
| X 2 | |||
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Otsime üles M(X 2) = 1 0,3 + 4 0,5 + 25 0,2 = 7,3. Siis on dispersioon
D(X) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
On ilmne, et valemi (6.7) rakendamine lihtsustab oluliselt dispersiooni leidmise protsessi. On selge, et sama valemiga saab leida pideva juhusliku suuruse dispersiooni.
Dispersiooniomadused
Juhusliku muutuja dispersioon on järgmine omadused:
1. Konstantse väärtuse dispersioon on võrdne nulliga, s.o. D(C) = 0, kus KOOS on konstantne väärtus.
Tõestus. Dispersiooni määratluse järgi, kasutades ootusomadust, saame
D(KOOS) = M[(KOOS – M(KOOS)) 2 ]= M[(KOOS – KOOS) 2 ] =M(0)= 0.
See tulemus on üsna ilmne, kuna konstandil on ainult üks väärtus, seega väärtuste levikut ei toimu.
Kinnistu on tõendatud.
2. Dispersioonimärgist saab välja võtta konstantse teguri selle ruudustamisel, s.t. D(CX) = KOOS 2 D(X).
Tõestus. Dispersiooni määratluse järgi, kasutades matemaatilise ootuse omadusi, saame
D(SH) = M[(SH – M(SH)) 2 ]=M[(SH – CM(X)) 2 ]=M[KOOS 2 (X – M(X)) 2 ]=
= C 2 M[(X – M(X)) 2 ]=KOOS 2 D(X).
Kinnistu on tõendatud.
3. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga, st kui suurused X Ja Y iseseisev siis
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Tõestus. Tõestuseks rakendame valemit (6.7) ja matemaatilise ootuse omadused saame
D(X+Y) = M((X+Y) 2) – M 2 (X+Y)=M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X+Y)) 2 =
=M(X 2) + M(2XY) + M(Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2) + 2M(X)M(Y) + M(Y 2) – – M 2 (X) –2M(X)M(Y) -M 2 (Y) = M(X 2) – M 2 (X) + M(Y 2) –M 2 (Y) = D(X) + D(Y).
Kinnistu on tõendatud.
Tagajärg. Mitme sõltumatu suuruse summa dispersioon on võrdne nende suuruste dispersioonide summaga.
Tõestust saab läbi viia matemaatilise induktsiooniga.
4. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse erinevuse dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga, s.o. D(X–Y) = D(X) + D(Y).
Tõestus. Rakendades dispersiooni teist ja kolmandat omadust, saame D(X–Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) = D(X) + D(Y).
Kinnistu on tõendatud.
Tõestatud omadust saab hõlpsasti laiendada ka mis tahes lõplikule arvule sõltumatutele juhuslikele muutujatele.
Näide 6.9 . Leia diskreetse juhusliku suuruse dispersioon X, võrdne sündmuse esinemiste arvuga A V n sõltumatud testid, kui esinemise tõenäosus A igas testis on konstantne ja võrdne R.
Lahendus. Olgu juhuslik suurus X– sündmuse esinemiste arv A V n testid.
Mõelgem ka n juhuslikud muutujad:
X 1 - sündmuse esinemiste arv A esimesel katsel;
X 2 - sündmuse esinemiste arv A teisel katsel;
…………………………………………………………….
X n– sündmuse esinemiste arv A V n- Oh test.
See on ilmne X=X 1 +X 2 +…+X n. Kogused X 1 , X 2 , …, X n on üksteisest sõltumatud, kuna iga katse tulemus ei sõltu teiste tulemustest. Kasutame neljanda dispersiooniomaduse järeldust, saame
D(X) = D(X 1) + D(X 2) + …+ D(X n).
Leia koguse dispersioon X 1 . Selle koguse jaotusseeria on järgmine:
| X 1 | ||
| R | 1−R | R |
Siis M(X 1) = R; M(X 1 2) = R; D(X 1) = R – R 2 = R(1 – lk)=pq.
Ilmselt on ka kõigi teiste juhuslike suuruste dispersioon võrdne pq. Sellepärast
D(X) = D(X 1)+D(X 2)+…+D(X n) = npq. ■
Kui uurida mõnda juhuslikku muutujat, mille väärtused on piisavalt suured arvud, siis on võimalik sellelt muutujalt liikuda lihtsamate muutujate juurde, mida nimetatakse tsentreeritud ja standardseteks.
Dispersioon on oluline juhuslike muutujate iseloomustamiseks.
Definitsioon. dispersioon juhuslikku suurust nimetatakse juhusliku muutuja matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise ruudu matemaatiliseks ootuseks
Sõna "dispersioon" tähendab "hajutamist", st. dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste hajumist (dispersiooni) selle matemaatilise ootuse ümber.
Definitsioonist järeldub, et dispersioon on konstantne väärtus, s.t. juhusliku suuruse arvtunnus, millel on juhusliku suuruse ruudu mõõde.
Tõenäolisest vaatenurgast, dispersioon on juhusliku muutuja väärtuste hajumise mõõt selle matemaatilise ootuse ümber.
Tõepoolest, kaaluge diskreetset juhuslikku muutujat, millel on piiratud väärtuste kogum. Seejärel arvutatakse dispersioon vastavalt definitsioonile valemiga
. (2)
Kui dispersioon 
on väike, järeldub valemist (2), et liikmed on väikesed. Seega, kui me väärtusi ei arvesta 
, mis vastab väikesele tõenäosusele (sellised väärtused on praktiliselt võimatud), siis kõik muud väärtused 
veidi kõrvale kalduda matemaatilisest ootusest 
. Seega väikese dispersiooni korral koonduvad juhusliku suuruse võimalikud väärtused selle matemaatilise ootuse ümber (välja arvatud võib-olla suhteliselt väike arv individuaalseid väärtusi). Kui dispersioon 
on suur, tähendab see juhusliku suuruse väärtuste suurt hajumist, juhusliku suuruse väärtuste kontsentratsioon mõne keskuse lähedal on välistatud.
Näide.
Olgu juhuslikud muutujad 
Ja 
on järgmised jaotusseadused
Tabel 9. Tabel 10.
|
|
| ||||||||
|
|
|
Leidke nende juhuslike muutujate matemaatilised ootused ja dispersioonid.
Lahendus. Kasutades matemaatiliste ootuste arvutamise valemit, leiame
Valemi (2) abil arvutame antud juhuslike suuruste dispersioonid
Saadud tulemustest järeldame: juhuslike suuruste matemaatilised ootused 
Ja 
on samad, kuid erinevused on erinevad. Juhusliku suuruse dispersioon 
on väike ja me näeme, et selle väärtus on koondunud eeldatava väärtuse ümber 
. Vastupidi, juhusliku suuruse väärtused 
võrreldes oluliselt hajutatud 
, seega dispersioon 
on suure tähtsusega. ●
Vara 1. Konstantse väärtuse dispersioon on null
Tõestus.
Vara 2 . Konstantteguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel
Tõestus.
Vara 3. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga
Tõestus. Me kasutame dispersiooni määratlust ja matemaatilise ootuse omadusi 3, 2, meil on
Definitsioon.
Juhuslike suuruste hälvete korrutise matemaatiline ootus
Ja
nende matemaatilistest ootustest nimetataksekorrelatsioonimoment
need kogused
Kui juhuslikud suurused, siis kogused 
Ja 
on sõltumatud, siis, kasutades matemaatiliste ootuste omadusi 6 ja 7, leiame
Seetõttu on meil valemist 3
kust see lõpuks järgneb
Kasutades matemaatilise induktsiooni meetodit, saab seda omadust laiendada mis tahes lõpliku arvu sõltumatute juhuslike suuruste korral.
Vara 4.
Sõltumatute juhuslike suuruste summa hajumine 
on võrdne nende dispersioonide summaga
Vara 5. Kahe juhusliku sõltumatu muutuja erinevuse dispersioon on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga
Tõestus.
Vara 6. Juhusliku suuruse dispersioon on võrdne matemaatilise ootusega
selle suuruse ruut miinus selle matemaatilise ootuse ruut
(Seda valemit kasutatakse dispersiooni arvutamiseks)
Tõestus.
Matemaatiline ootus ja dispersioon on juhusliku suuruse kõige sagedamini kasutatavad numbrilised karakteristikud. Need iseloomustavad jaotuse kõige olulisemaid tunnuseid: selle asukohta ja hajutatuse astet. Matemaatilisele ootusele viidatakse sageli kui keskmisele. juhuslik muutuja. Juhusliku suuruse dispersioon - dispersiooni tunnus, juhusliku suuruse dispersioon oma matemaatilise ootuse ümber.
Paljude praktikaprobleemide puhul ei saa juhusliku suuruse täielikku ja ammendavat kirjeldust - jaotuse seadust - saada või pole seda üldse vaja. Nendel juhtudel piirduvad need juhusliku suuruse ligikaudse kirjeldusega, kasutades numbrilisi tunnuseid.
Tuleme matemaatilise ootuse mõiste juurde. Olgu mingi aine mass jaotunud x-telje punktide vahel x1 , x 2 , ..., x n. Pealegi on igal materiaalsel punktil sellele vastav mass tõenäosusega lk1 , lk 2 , ..., lk n. On vaja valida x-teljel üks punkt, mis iseloomustab kogu materiaalsete punktide süsteemi asukohta, võttes arvesse nende massi. Selliseks punktiks on loomulik võtta materiaalsete punktide süsteemi massikese. See on juhusliku suuruse kaalutud keskmine X, milles iga punkti abstsiss xi siseneb vastava tõenäosusega võrdse "kaaluga". Nii saadud juhusliku suuruse keskmine väärtus X nimetatakse selle matemaatiliseks ootuseks.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutised:
Näide 1 Korraldati win-win loterii. Seal on 1000 võitu, millest 400 on igaüks 10 rubla. 300-20 rubla igaüks 200-100 rubla igaüks. ja igaüks 100-200 rubla. Kui suur on ühe pileti ostnud inimese keskmine võit?
Lahendus. Keskmise võidu leiame, kui võitude kogusumma, mis võrdub 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubla, jagatakse 1000-ga (võitude kogusumma). Siis saame 50000/1000 = 50 rubla. Kuid keskmise võimenduse arvutamise avaldist saab esitada ka järgmisel kujul:
Teisest küljest on nendel tingimustel võitude suurus juhuslik suurus, mis võib olla 10, 20, 100 ja 200 rubla. tõenäosustega vastavalt 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Seetõttu on oodatav keskmine väljamakse võrdne väljamaksete suuruse ja nende saamise tõenäosuse korrutistega.
Näide 2 Kirjastus otsustas välja anda uue raamatu. Ta kavatseb raamatu müüa 280 rubla eest, millest 200 antakse talle, 50 raamatupoele ja 30 autorile. Tabel annab teavet raamatu väljaandmise maksumuse ja teatud arvu eksemplaride müügi tõenäosuse kohta.
Leidke väljaandja eeldatav kasum.
Lahendus. Juhuslik suurus "kasum" võrdub müügitulu ja kulude maksumuse vahega. Näiteks kui raamatut müüakse 500 eksemplari, siis müügist saadav tulu on 200 * 500 = 100 000 ja kirjastamiskulu 225 000 rubla. Seega ootab kirjastust 125 000 rubla kahjum. Järgmine tabel võtab kokku juhusliku suuruse - kasumi - eeldatavad väärtused:
| Number | Kasum xi | Tõenäosus lki | xi lk i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Kokku: | 1,00 | 25000 |
Seega saame kirjastaja kasumi matemaatilise ootuse:
.
Näide 3 Võimalus lüüa ühe löögiga lk= 0,2. Määrake kestade tarbimine, mis annab matemaatilise ootuse, et tabamuste arv on 5.
Lahendus. Samast ootusvalemist, mida oleme siiani kasutanud, väljendame x- kestade tarbimine:
.
Näide 4 Määrake juhusliku suuruse matemaatiline ootus x tabamuste arv kolme lasuga, kui iga löögiga tabamise tõenäosus lk = 0,4 .
Vihje: leidke juhusliku suuruse väärtuste tõenäosus järgmiselt Bernoulli valem .
Mõelge matemaatilise ootuse omadustele.
Vara 1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne selle konstandiga:
Vara 2. Konstantse teguri saab ootusmärgist välja võtta:
Vara 3. Juhuslike muutujate summa (erinevuse) matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga (erinevus):
Vara 4. Juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:
Vara 5. Kui kõik juhusliku suuruse väärtused X vähenema (suurendada) sama arvu võrra KOOS, siis selle matemaatiline ootus väheneb (suureneb) sama arvu võrra:
Enamikul juhtudel ei suuda ainult matemaatiline ootus juhuslikku muutujat adekvaatselt iseloomustada.
Olgu juhuslikud muutujad X Ja Y on antud järgmiste jaotusseadustega:
| Tähendus X | Tõenäosus |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Tähendus Y | Tõenäosus |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Nende suuruste matemaatilised ootused on samad - võrdne nulliga:
Nende jaotus on aga erinev. Juhuslik väärtus X saab võtta ainult selliseid väärtusi, mis erinevad vähe matemaatilisest ootusest ja juhuslikust muutujast Y võib võtta väärtusi, mis erinevad oluliselt matemaatilisest ootusest. Sarnane näide: keskmine palk ei võimalda hinnata kõrge ja madalapalgaliste töötajate osakaalu. Teisisõnu, matemaatilise ootuse järgi ei saa hinnata, millised kõrvalekalded sellest, vähemalt keskmiselt, on võimalikud. Selleks tuleb leida juhusliku suuruse dispersioon.
dispersioon diskreetne juhuslik suurus X nimetatakse selle matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise ruudu matemaatiliseks ootuseks:
Juhusliku suuruse standardhälve X on selle dispersiooni ruutjuure aritmeetiline väärtus:
.
Näide 5 Arvutage juhuslike suuruste dispersioonid ja standardhälbed X Ja Y, mille jaotusseadused on toodud ülaltoodud tabelites.
Lahendus. Juhuslike suuruste matemaatilised ootused X Ja Y, nagu eespool leiti, on võrdsed nulliga. Vastavalt dispersioonivalemile E(X)=E(y)=0 saame:
Seejärel juhuslike suuruste standardhälbed X Ja Y moodustavad
.
Seega samade matemaatiliste ootuste korral juhusliku suuruse dispersioon X väga väike ja juhuslik Y- märkimisväärne. See on nende leviku erinevuse tagajärg.
Näide 6 Investoril on 4 alternatiivset investeerimisprojekti. Tabelis on kokku võetud andmed eeldatava kasumi kohta nendes projektides vastava tõenäosusega.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Leidke iga alternatiivi jaoks matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve.
Lahendus. Näitame, kuidas need kogused arvutatakse 3. alternatiivi jaoks:
Tabel võtab kokku kõigi alternatiivide leitud väärtused.
Kõigil alternatiividel on samad matemaatilised ootused. See tähendab, et pikas perspektiivis on kõigil sama sissetulek. Standardhälvet võib tõlgendada kui riski mõõdikut – mida suurem see on, seda suurem on investeeringu risk. Investor, kes ei soovi palju riske, valib projekti 1, kuna sellel on väikseim standardhälve (0). Kui investor eelistab riski ja kõrget tootlust lühikese perioodi jooksul, siis valib ta suurima standardhälbega projekti - projekt 4.
Toome välja dispersiooni omadused.
Vara 1. Konstantse väärtuse dispersioon on null:
Vara 2. Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel:
.
Vara 3. Juhusliku suuruse dispersioon on võrdne selle väärtuse ruudu matemaatilise ootusega, millest lahutatakse väärtuse enda matemaatilise ootuse ruut:
,
Kus 
.
Vara 4. Juhuslike suuruste summa (erinevuse) dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga (erinevus):
Näide 7 On teada, et diskreetne juhuslik suurus X võtab ainult kaks väärtust: −3 ja 7. Lisaks on teada matemaatiline ootus: E(X) = 4. Leia diskreetse juhusliku suuruse dispersioon.
Lahendus. Tähistage lk tõenäosus, millega juhuslik suurus omandab väärtuse x1 = −3 . Siis väärtuse tõenäosus x2 = 7 saab olema 1 − lk. Tuletame matemaatilise ootuse võrrandi:
E(X) = x 1 lk + x 2 (1 − lk) = −3lk + 7(1 − lk) = 4 ,
kust saame tõenäosused: lk= 0,3 ja 1 − lk = 0,7 .
Juhusliku suuruse jaotuse seadus:
| X | −3 | 7 |
| lk | 0,3 | 0,7 |
Arvutame selle juhusliku suuruse dispersiooni, kasutades dispersiooni omaduse 3 valemit:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Näide 8 Diskreetne juhuslik suurus X võtab ainult kaks väärtust. See võtab suurema väärtuse 3 tõenäosusega 0,4. Lisaks on teada juhusliku suuruse dispersioon D(X) = 6. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus.
Näide 9 Urnis on 6 valget ja 4 musta palli. Urnist võetakse 3 palli. Valgete pallide arv väljatõmmatud pallide hulgas on diskreetne juhuslik suurus X. Leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.
Lahendus. Juhuslik väärtus X võib võtta väärtused 0, 1, 2, 3. Vastavad tõenäosused saab arvutada tõenäosuste korrutamise reegel. Juhusliku suuruse jaotuse seadus:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| lk | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Siit ka selle juhusliku muutuja matemaatiline ootus:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Antud juhusliku suuruse dispersioon on:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Pideva juhusliku suuruse korral jääb matemaatilise ootuse mehaaniline tõlgendus sama tähendusega: massikese massikese jaoks, mis on jaotatud pidevalt x-teljel tihedusega. f(x). Erinevalt diskreetsest juhuslikust muutujast, mille jaoks funktsiooni argument xi muutub järsult, pideva juhusliku muutuja puhul muutub argument pidevalt. Kuid pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus on samuti seotud selle keskmise väärtusega.
Pideva juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni leidmiseks peate leidma kindlad integraalid . Kui on antud pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon, siis see siseneb otse integrandi. Kui on antud tõenäosusjaotuse funktsioon, siis seda eristades tuleb leida tihedusfunktsioon.
Pideva juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste aritmeetilist keskmist nimetatakse selleks matemaatiline ootus, tähistatud või .
Tõenäosusteooria on matemaatika eriharu, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas te ei karda normaaljaotuse, ansambli entroopia, matemaatilise ootuse ja diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniga tutvumise väljavaateid? Siis pakub see teema teile suurt huvi. Tutvume selle teaduse osa olulisemate põhimõistetega.
Isegi kui mäletate tõenäosusteooria lihtsamaid kontseptsioone, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Fakt on see, et ilma põhitõdedest selge arusaamiseta ei saa te allpool käsitletud valemitega töötada.
Niisiis, on mingi juhuslik sündmus, mõni eksperiment. Teostatud toimingute tulemusena võime saada mitu tulemust – ühed neist on tavalisemad, teised vähem levinud. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe. Teades ainult selle mõiste klassikalist määratlust, võite hakata uurima pidevate juhuslike muutujate matemaatilisi ootusi ja hajuvust.
Kooliajal, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks on hetkel peamine, et me seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites kohtame.
Meil on arvude jada ja me tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt on vaja vaid kõik saadaolev summeerida ja jagada jada elementide arvuga. Olgu meil arvud vahemikus 1 kuni 9. Elementide summaks on 45 ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.
Teaduslikus mõttes on dispersioon saadud tunnuste väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete keskmine ruut. Üks on tähistatud suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame saadaoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ning selle ruuduga. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida me kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.
Dispersioonil on ka omadusi, mida peate meeles pidama, et seda probleemide lahendamisel rakendada. Näiteks kui juhuslikku suurust suurendatakse X korda, suureneb dispersioon X korda ruudu võrra (st X*X). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu väärtuste nihutamisest võrdse väärtuse võrra üles või alla. Samuti on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.
Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersioonist ja matemaatilisest ootusest.
Oletame, et teeme 21 katset ja saame 7 erinevat tulemust. Vaatlesime igaüht neist vastavalt 1,2,2,3,4,4 ja 5 korda. Mis dispersioon saab olema?
Esiteks arvutame aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagame selle 7-ga, saades 3. Nüüd lahutame igast algses järjestuses olevast arvust 3, paneme iga väärtuse ruudusse ja liidame tulemused kokku . Selgub, et 12. Nüüd jääb meil arv jagada elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Aga siin on konks! Arutame seda.
Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja olla üks kahest arvust: kas N või N-1. Siin on N tehtud katsete arv või jada elementide arv (mis on sisuliselt sama asi). Millest see oleneb?
Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid tõmmata piiri üsna sümboolselt: täna jookseb see mööda numbrit 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, siis jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.
Pöördume tagasi meie näite juurde dispersiooni- ja ootusprobleemi lahendamisest. Saime vahearvuks 12, mis tuli jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Seega on vastus: dispersioon on 12/2 = 2.
Liigume edasi teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis käsitlema. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et nii saadud väärtus kui ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse kogu ülesande jaoks ainult üks kord, olenemata sellest, kui palju tulemusi see arvesse võtab.
Matemaatilise ootuse valem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, liidame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat on lihtne arvutada. Näiteks matemaatiliste ootuste summa on võrdne summa matemaatilise ootusega. Sama kehtib ka töö kohta. Mitte iga suurus tõenäosusteoorias ei võimalda selliseid lihtsaid tehteid sooritada. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste väärtuse korraga. Lisaks segas meid teooria – aeg on harjutada.
Tegime 50 katset ja saime 10 erinevat tüüpi tulemust – numbrid 0 kuni 9 –, mis esinesid erineva protsendimääraga. Need on vastavalt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0,1 jne. Toome näite juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse ülesande lahendamisest.
Aritmeetilise keskmise arvutame valemiga, mida mäletame põhikoolist: 50/10 = 5.
Tõlgime nüüd tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks mugavam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Lahutage igast saadud väärtusest aritmeetiline keskmine, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha näitena esimese elemendiga: 1 - 5 = (-4). Edasi: (-4) * (-4) = 16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast kõike lisamist 90.
Jätkame dispersiooni ja keskmise arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N, mitte N-1? See on õige, kuna tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10 = 9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes banaalse vea. Kontrollige veel kord üle, mida kirjutasite, ja kindlasti läheb kõik oma kohale.
Lõpuks tuletame meelde matemaatilise ootuse valemit. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi nõutavate protseduuride sooritamist. Eeldatav väärtus on 5,48. Tuletame meelde ainult, kuidas toiminguid teha, kasutades esimeste elementide näidet: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihtsalt selle tõenäosusega.
Teine dispersiooni ja matemaatilise ootusega tihedalt seotud mõiste on standardhälve. Seda tähistatakse kas ladina tähtedega sd või kreeka väiketähtedega "sigma". See kontseptsioon näitab, kuidas keskmiselt erinevad väärtused kesksest tunnusest. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama dispersiooni ruutjuure.
Kui joonistate normaaljaotuse ja soovite ruudus hälvet otse sellel näha, saab seda teha mitme sammuna. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisontaalteljega risti nii, et saadud kujundite alad oleksid võrdsed. Jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva horisontaaltelje projektsiooni vahelise lõigu väärtus on standardhälve.
Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et aega mitte raisata, on mõttekas kasutada kõrghariduses kasutatavat programmi – selle nimi on "R". Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.
Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Dispersioon ja matemaatiline ootus on ilma milleta on raske tulevikus midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel arvestatakse neid juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja arvutamisoskuse tõttu hakkavad paljud tudengid kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessi lõpus kehvad hinded, mis jätab nad ilma stipendiumidest.
Harjutage vähemalt üks nädal pool tundi päevas, lahendades ülesandeid, mis on sarnased käesolevas artiklis esitatud ülesannetega. Seejärel saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.
Juhusliku muutuja dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse hajumist selle matemaatilise ootuse ümber.
Kui juhuslikul suurusel x on matemaatiline ootus M x, See dispersioon juhuslikku muutujat x nimetatakse suuruseks D x= M (x - M x) 2 .
Seda on lihtne näidata D x= M (x - M x) 2 =M x 2 - M (x) 2.
See universaalne valem on võrdselt hästi rakendatav nii diskreetsete kui ka pidevate juhuslike muutujate jaoks. Väärtus M x 2 >vastavalt diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste jaoks arvutatakse valemitega
, 
.
Seda kasutatakse sageli juhusliku suuruse väärtuste leviku mõõtmiseks standardhälve, mis on seotud dispersiooniga seose järgi.
Dispersiooni peamised omadused:
51) Jaotusfunktsiooni nimetatakse funktsiooniks , mis määrab tõenäosuse, et juhuslik suurus võtab väärtuse, mis on kujutatud arvteljel x-punktist vasakul oleva punktiga, s.o.
Mõnikord kasutatakse termini "jaotusfunktsioon" asemel terminit "integraalfunktsioon".
Jaotusfunktsiooni omadused:
1. Jaotusfunktsiooni väärtus kuulub intervalli : 0 F(x) 1
2. F(x) on mittekahanev funktsioon, s.t. F(x 2) F(x 1), kui x 2 > x 1
Järeldus 1. Tõenäosus, et juhuslik suurus omandab intervallis (a,b) sisalduva väärtuse, on võrdne jaotusfunktsiooni juurdekasvuga sellel intervallil:
P(a X Näide 9. Juhuslik suurus X on antud jaotusfunktsiooniga: Leia tõenäosus, et testi tulemusena võtab X väärtuse, mis kuulub intervalli (0; 2): P(0 Lahendus: Kuna intervallil (0;2) tingimuse järgi, F(x)=x/4+1/4, siis F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Seega P(0 Järeldus 2. Tõenäosus, et pidev juhuslik suurus X saab ühe kindla väärtuse, on võrdne nulliga. Järeldus 3. Kui juhusliku suuruse võimalikud väärtused kuuluvad intervalli (a;b), siis: 1) F(x)=0 x a korral; 2) F(x)=1 x b jaoks. Jaotusfunktsiooni graafik paikneb sirgetega y=0, y=1 (esimene omadus) piiratud ribal. Kui x suureneb intervallis (a;b), mis sisaldab kõiki võimalikke juhusliku suuruse väärtusi, tõuseb graafik üles. x a korral on graafiku ordinaadid võrdsed nulliga; x b korral on graafiku ordinaadid võrdsed ühega: jaotusfunktsioon juhuslik muutuja X nimetatakse funktsiooniks F(x) väljendades igaühe jaoks X tõenäosus, et juhuslik suurus X omandab väärtuse, mis on väiksem kui X: Funktsioon F(x) helistas kumulatiivne jaotusfunktsioon või tervikliku jaotuse seadus. Pideva juhusliku suuruse määramise meetod jaotusfunktsiooni abil pole ainus. On vaja määratleda mõni funktsioon, mis peegeldab tõenäosust, et juhuslik punkt langeb pideva juhusliku muutuja võimalike väärtuste piirkonna erinevatesse osadesse. See tähendab, et pakkuda tõenäosustele mingit asendust pi
diskreetse juhusliku suuruse jaoks pideval juhul. Selline funktsioon on tõenäosustiheduse jaotus. Tõenäosuse tihedus (jaotustihedus, diferentsiaalfunktsioon) juhuslik suurus X nimetatakse funktsiooniks f(x), mis on integraaljaotusfunktsiooni esimene tuletis.
Kehtivad järgmised piirseosed:
.
Temaatilised materjalid:
Uuendatud: 27.08.2023
103583
Kui märkate viga, valige tekstiosa ja vajutage Ctrl + Enter
