Bei der Lösung praktischer Probleme können Zufallsvariablen mit unterschiedlicher Verteilung, aber gleichen mathematischen Erwartungen auftreten. Darüber hinaus sind bei einigen dieser Größen die Abweichungen der Werte von der mathematischen Erwartung gering, bei anderen hingegen können sie erheblich sein. Mit anderen Worten: Größen können unterschiedliche Wertespannen um den mathematischen Erwartungswert herum aufweisen.
Beispielsweise für zwei diskrete Zufallsvariablen, die durch die folgenden Gesetze definiert sind:
| X | -1 | Und | Y | -100 | ||||
| R | 0,3 | 0,4 | 0,3 | R | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
mathematische Erwartungen sind gleich, d.h. M(X)=M(Y)=0. Es ist jedoch klar, dass es sich hierbei um unterschiedliche Zufallsvariablen handelt und sie sich vor allem in der Streuung der Werte entlang der Abszissenachse links und rechts vom Punkt 0 unterscheiden – ihrem mathematischen Erwartungswert.
Die obige Argumentation legt nahe, dass es ratsam wäre, einige mit der Streuung verbundene numerische Merkmale zu berücksichtigen. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass ein solches Merkmal der Durchschnittswert aller Abweichungen möglicher Werte einer Zufallsvariablen von der mathematischen Erwartung sein könnte.
Abweichung einer Zufallsvariablen X von Ihrer mathematischen Erwartung M(X) ist der Unterschied zwischen einer Zufallsvariablen und ihrem mathematischen Erwartungswert.
Offensichtlich ist auch die Abweichung eine Zufallsvariable. Lassen Sie uns den durchschnittlichen Abweichungswert ermitteln, d.h. mathematische Erwartung der Abweichung erhalten wir M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) =M(X) – M(X) = 0.
Der mathematische Erwartungswert der Abweichung einer Zufallsvariablen ist also Null. Diese Tatsache lässt sich auch dadurch erklären, dass mögliche Abweichungswerte sowohl positive als auch negative Vorzeichen haben, daher heben sich die Terme bei der Ermittlung des Durchschnittswerts (mathematische Erwartung) gegenseitig auf. Dies kann vermieden werden, indem die negativen Vorzeichen der Abweichungswerte entfernt werden. Dazu werden diese Werte entweder absolut oder quadriert. Die erste Methode wird äußerst selten verwendet, da die Arbeit mit absoluten Werten in der Regel erhebliche Schwierigkeiten bereitet, beispielsweise bei der Differenzierung. Daher wird der mathematische Erwartungswert der quadratischen Abweichung als Merkmal der Streuung verwendet.
Varianz D(X) zufällige Variable X ist der mathematische Erwartungswert der quadratischen Abweichung einer gegebenen Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert, d.h.
D(X) = M[(X – M(X)) 2 ] (6.4)
Das Wort „Dispersion“ selbst bedeutet „Streuung“.
Es ist leicht zu verstehen, dass die Wahrscheinlichkeiten der Werte von Zufallsvariablen X Und ( X – M(X)) 2 sind gleich. Damit der Wert ( X – M(X)) 2 nahm den Wert an, zum Beispiel ( X 1 – M(X)) 2 , es reicht aus, dass die Zufallsvariable X nahm die Bedeutung an X 1 . Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt R 1, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert ( X – M(X)) 2 nimmt den Wert ( X 1 – M(X)) 2 ist auch gleich R 1 . Ähnlich verhält es sich mit den anderen möglichen Werten. Daher wird die Formel (6.4) unter Berücksichtigung der Definition des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen die Form annehmen:
für eine diskrete Zufallsvariable mit einer endlichen Menge von Werten
für eine kontinuierliche Zufallsvariable
(6.6)
Das uneigentliche Integral in Formel (6.6) wird über ein endliches Intervall zu einem bestimmten Integral, wenn die Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nur in diesem Intervall existieren.
Der mathematische Erwartungswert hat dieselbe Dimension wie die Zufallsvariable selbst, im Gegensatz zur Varianz, deren Dimension dem Quadrat der Dimension der Zufallsvariablen entspricht. Somit charakterisiert die Dispersion nicht die Streuung selbst, sondern das Quadrat der Streuung der Werte einer Zufallsvariablen. Um die durchschnittliche Streuung selbst zu bestimmen, wird die Quadratwurzel der Varianz ermittelt und ein neues numerisches Merkmal namens Standardabweichung ermittelt.
Standardabweichung σ (X) zufällige Variable X heißt Quadratwurzel der Varianz, d.h.
.
Beispiel 6.6 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen, die durch die folgende Reihe der Verteilung gegeben ist
Nach Berechnungen erhalten wir
| (X- M(X)) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Lassen Sie uns den mathematischen Erwartungswert der resultierenden Zufallsvariablen ermitteln: D(X) = M[(X – M(X)) 2 ]=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. ■
Beispiel 6.7 . Finden Sie die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, die durch ihre Dichtefunktion gegeben ist: F(X)=0,5X bei XО(0,2); für andere X die Dichtefunktion ist Null.
Lösung . Mit der Formel (6.2) ermitteln wir den mathematischen Erwartungswert, den wir erhalten
Mithilfe der Formel (6.6) ermitteln wir die Streuung, und aus dem uneigentlichen Integral wird ein Integral, das über ein gegebenes Intervall (0,2) definiert ist:
. ■
Zur Berechnung der Varianz wird häufig eine andere Formel verwendet, die sich leicht aus Formel (6.4) ergibt.
Satz 6.1. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich der Differenz zwischen dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieser Zufallsvariablen und dem Quadrat des mathematischen Erwartungswerts:
D(X) = M(X 2) – M 2 (X) (6.7)
Nachweisen. Lassen Sie uns die Formel (6.4) unter Verwendung der Eigenschaften der mathematischen Erwartung transformieren und erhalten
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel 6.8 . Lösen wir Beispiel 6.6 mit der Formel (6.7). Der mathematische Erwartungswert wurde gefunden, er ist gleich M(X)=2,3. Finden wir nun das Gesetz der Mengenverteilung X 2, wir bekommen
| X 2 | |||
| R | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Wir werden finden M(X 2) = 1·0,3 + 4·0,5 + 25·0,2 = 7,3. Dann ist die Varianz
D(X) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
Es ist offensichtlich, dass die Verwendung der Formel (6.7) den Prozess der Varianzermittlung erheblich vereinfacht. Es ist klar, dass dieselbe Formel verwendet werden kann, um die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu ermitteln.
Dispersionseigenschaften
Die Varianz einer Zufallsvariablen hat Folgendes Eigenschaften:
1. Die Varianz eines konstanten Wertes ist Null, d.h. D(C) = 0, wo MIT- konstanter Wert.
Nachweisen. Indem wir die Streuung mithilfe der Eigenschaft des mathematischen Erwartungswerts definieren, erhalten wir:
D(MIT) = M[(MIT – M(MIT)) 2 ]= M[(MIT – MIT) 2 ] =M(0)= 0.
Dieses Ergebnis ist ziemlich offensichtlich, da der konstante Wert nur einen Wert annimmt und es daher keine Streuung der Werte gibt.
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
2. Der konstante Faktor kann aus dem Dispersionszeichen durch Quadrieren entnommen werden, d. h. D(CX) = MIT 2 D(X).
Nachweisen. Indem wir die Dispersion mithilfe der Eigenschaften der mathematischen Erwartung definieren, erhalten wir
D(CX) = M[(CX – M(CX)) 2 ]=M[(CX – SM(X)) 2 ]=M[MIT 2 (X – M(X)) 2 ]=
= C 2 M[(X – M(X)) 2 ]=MIT 2 D(X).
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
3. Die Varianz der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Werte, d. h. wenn die Werte X Und Y sind also unabhängig
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Nachweisen. Um dies zu beweisen, wenden wir Formel (6.7) an und erhalten die Eigenschaften der mathematischen Erwartung
D(X+Y) = M((X+Y) 2) – M 2 (X+Y)=M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X+Y)) 2 =
=M(X 2) + M(2XY) +M(Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2) + 2M(X)M(Y) +M(Y 2) – – M 2 (X) –2M(X)M(Y) - M 2 (Y) = M(X 2) – M 2 (X) + M(Y 2) –M 2 (Y) = D(X) + D(Y).
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Folge. Die Varianz der Summe mehrerer unabhängiger Größen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Größen.
Der Beweis kann mit der Methode der mathematischen Induktion erfolgen.
4. Die Varianz der Differenz zwischen zwei unabhängigen Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. D(X–Y) = D(X) + D(Y).
Nachweisen. Wenn wir die zweite und dritte Eigenschaft der Dispersion anwenden, erhalten wir D(X–Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) = D(X) + D(Y).
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Die nachgewiesene Eigenschaft lässt sich auch leicht auf eine beliebige endliche Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen erweitern.
Beispiel 6.9 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X, gleich der Anzahl der Vorkommen des Ereignisses A V N Unabhängige Versuche, ob die Wahrscheinlichkeit des Auftretens besteht A in jedem Test konstant und gleich ist R.
Lösung. Lassen Sie die Zufallsvariable X– Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A V N Tests.
Lassen Sie uns auch in Betracht ziehen N zufällige Variablen:
X 1 – Anzahl der Vorkommen des Ereignisses A im ersten Test;
X 2 – Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A im zweiten Test;
…………………………………………………………….
Xn– Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A V N- oh Test.
Es ist klar, dass X=X 1 +X 2 +…+Xn. Mengen X 1 , X 2 , …, X n sind voneinander unabhängig, da das Ergebnis jedes Versuchs nicht von den Ergebnissen der anderen abhängt. Lassen Sie uns eine Konsequenz der vierten Eigenschaft der Dispersion verwenden und erhalten
D(X) = D(X 1) + D(X 2) + …+ D(X N).
Lassen Sie uns die Varianz der Menge ermitteln X 1 . Die Verteilungsreihe dieser Größe hat die Form:
| X 1 | ||
| R | 1−R | R |
Dann M(X 1) = R; M(X 1 2) = R; D(X 1) = R – R 2 = R(1 – P)=pq.
Offensichtlich ist auch die Varianz aller anderen Zufallsvariablen gleich pq. Deshalb
D(X) = D(X 1)+D(X 2)+…+D(X n) = npq. ■
Wenn wir eine Zufallsvariable untersuchen, deren Werte ausreichend große Zahlen sind, ist es möglich, von diesem Wert zu einfacheren Werten überzugehen, die als zentriert und Standard bezeichnet werden.
Dispersion ist wichtig für die Charakterisierung von Zufallsvariablen.
Definition. Varianz einer Zufallsvariablen ist der mathematische Erwartungswert der quadratischen Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert
Das Wort „Dispersion“ bedeutet „Streuung“, d.h. Dispersion charakterisiert die Streuung (Streuung) der Werte einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.
Aus der Definition folgt, dass die Dispersion ein konstanter Wert ist, d.h. ein numerisches Merkmal einer Zufallsvariablen, das die Dimension des Quadrats der Zufallsvariablen hat.
Aus wahrscheinlicher Sicht ist Dispersion ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.
Betrachten Sie tatsächlich eine diskrete Zufallsvariable mit einer endlichen Menge von Werten. Dann wird gemäß der Definition die Varianz durch die Formel berechnet
. (2)
Wenn die Varianz 
klein ist, folgt aus Formel (2), dass die Terme klein sind. Wenn wir also die Werte nicht berücksichtigen 
, die einer geringen Wahrscheinlichkeit entsprechen (solche Werte sind praktisch unmöglich), dann alle anderen Werte 
weichen kaum von der mathematischen Erwartung ab 
. Somit, Bei geringer Streuung konzentrieren sich die möglichen Werte einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert (mit der möglichen Ausnahme einer relativ kleinen Anzahl einzelner Werte). Wenn die Varianz 
groß ist, bedeutet dies eine große Streuung der Werte der Zufallsvariablen; die Konzentration der Werte der Zufallsvariablen um ein bestimmtes Zentrum ist ausgeschlossen.
Beispiel.
Lassen Sie die Zufallsvariablen 
Und 
haben die folgenden Verteilungsgesetze
Tabelle 9. Tabelle 10.
|
|
| ||||||||
|
|
|
Finden Sie die mathematischen Erwartungen und Varianzen dieser Zufallsvariablen.
Lösung. Mit der Formel zur Berechnung mathematischer Erwartungen finden wir
Mit Formel (2) berechnen wir die Varianzen der gegebenen Zufallsvariablen
Aus den erhaltenen Ergebnissen schließen wir: mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen 
Und 
sind gleich, aber die Abweichungen sind unterschiedlich. Varianz einer Zufallsvariablen 
ist klein und wir sehen, dass sich sein Wert um seinen mathematischen Erwartungswert herum konzentriert 
. Im Gegenteil, die Werte der Zufallsvariablen 
deutlich verstreut relativ zu 
und damit die Varianz 
ist von großer Wichtigkeit. ●
Eigentum 1. Die Varianz eines konstanten Werts ist Null
Nachweisen.
Eigentum 2 . Der konstante Faktor kann aus dem Dispersionszeichen durch Quadrieren ermittelt werden
Nachweisen.
Eigentum 3. Die Varianz der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen
Nachweisen. Verwenden wir die Definition der Dispersion und die Eigenschaften 3, 2 der mathematischen Erwartung, die wir haben
Definition.
Mathematische Erwartung des Produkts von Abweichungen von Zufallsvariablen
Und
aus ihren mathematischen Erwartungen heißtKorrelationsmoment
diese Werte
Wenn Zufallsvariablen, Mengen 
Und 
unabhängig sind, finden wir dann unter Verwendung der Eigenschaften 6 und 7 der mathematischen Erwartungen
Daher haben wir aus Formel 3
was schließlich folgt
Mit der Methode der mathematischen Induktion lässt sich diese Eigenschaft auf den Fall endlich vieler unabhängiger Zufallsvariablen erweitern.
Eigentum 4.
Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen 
gleich der Summe ihrer Varianzen
Eigentum 5. Die Varianz der Differenz zwischen zwei zufälligen unabhängigen Variablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen
Nachweisen.
Eigentum 6. Die Varianz einer Zufallsvariablen entspricht dem mathematischen Erwartungswert
das Quadrat dieser Größe minus dem Quadrat ihrer mathematischen Erwartung
(Diese Formel wird zur Berechnung der Varianz verwendet)
Nachweisen.
Erwartungswert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und den Grad der Streuung. Der Erwartungswert wird oft einfach als Durchschnitt bezeichnet. zufällige Variable. Streuung einer Zufallsvariablen – Charakteristik der Streuung, Streuung einer Zufallsvariablen über seine mathematische Erwartung.
Bei vielen praktischen Problemen kann ein vollständiges, erschöpfendes Merkmal einer Zufallsvariablen – das Verteilungsgesetz – entweder nicht ermittelt werden oder wird überhaupt nicht benötigt. In diesen Fällen beschränkt man sich auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen mittels numerischer Merkmale.
Kommen wir zum Konzept der mathematischen Erwartung. Die Masse einer Substanz sei zwischen den Punkten der x-Achse verteilt X1 , X 2 , ..., X N. Darüber hinaus hat jeder materielle Punkt eine entsprechende Masse mit einer Wahrscheinlichkeit von P1 , P 2 , ..., P N. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der Abszissenachse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, den Massenschwerpunkt des Systems materieller Punkte als einen solchen Punkt anzunehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, zu der die Abszisse jedes Punktes gehört Xich tritt mit einem „Gewicht“ ein, das der entsprechenden Wahrscheinlichkeit entspricht. Der auf diese Weise erhaltene Durchschnittswert der Zufallsvariablen X wird seine mathematische Erwartung genannt.
Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:
Beispiel 1. Es wurde eine Win-Win-Lotterie organisiert. Es gibt 1000 Gewinne, davon sind 400 10 Rubel. 300 - 20 Rubel pro Stück. 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn für jemanden, der ein Los kauft?
Lösung. Den durchschnittlichen Gewinn ermitteln wir, wenn wir den Gesamtgewinnbetrag, der 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel beträgt, durch 1000 (Gesamtgewinnbetrag) dividieren. Dann erhalten wir 50.000/1.000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann jedoch in folgender Form dargestellt werden:
Andererseits ist unter diesen Bedingungen die Gewinngröße eine Zufallsvariable, die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher ist der erwartete durchschnittliche Gewinn gleich der Summe der Produkte aus der Höhe der Gewinne und der Wahrscheinlichkeit, diese zu erhalten.
Beispiel 2. Der Verlag beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Er plant, das Buch für 280 Rubel zu verkaufen, wovon er selbst 200 erhält, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.
Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Verlags.
Lösung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ entspricht der Differenz zwischen den Einnahmen aus Verkäufen und den Kosten der Ausgaben. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, beträgt der Erlös aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten betragen 225.000 Rubel. Dem Verlag entsteht somit ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen – Gewinn zusammen:
| Nummer | Profitieren Xich | Wahrscheinlichkeit Pich | Xich P ich |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Gesamt: | 1,00 | 25000 |
Somit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:
.
Beispiel 3. Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zu treffen P= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Projektilen, die eine mathematische Erwartung für die Anzahl der Treffer von 5 liefern.
Lösung. Ausgehend von der gleichen mathematischen Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus X- Schalenverbrauch:
.
Beispiel 4. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, also die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Schuss P = 0,4 .
Hinweis: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Variablenwerte durch Bernoullis Formel .
Betrachten wir die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.
Eigentum 1. Der mathematische Erwartungswert eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante:
Eigentum 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen:
Eigentum 3. Der mathematische Erwartungswert der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 4. Die mathematische Erwartung eines Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 5. Sind alle Werte einer Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). MIT, dann wird seine mathematische Erwartung um die gleiche Zahl sinken (steigen):
In den meisten Fällen kann allein der mathematische Erwartungswert eine Zufallsvariable nicht ausreichend charakterisieren.
Lassen Sie die Zufallsvariablen X Und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:
| Bedeutung X | Wahrscheinlichkeit |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Bedeutung Y | Wahrscheinlichkeit |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind gleich – gleich Null:
Ihre Verteilungsmuster sind jedoch unterschiedlich. Zufälliger Wert X kann nur Werte annehmen, die kaum von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen abweichen Y kann Werte annehmen, die erheblich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn erlaubt keine Beurteilung des Anteils von Hoch- und Niedriglohnarbeitern. Mit anderen Worten: Man kann anhand der mathematischen Erwartung nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz der Zufallsvariablen ermitteln.
Varianz diskrete Zufallsvariable X heißt die mathematische Erwartung des Quadrats seiner Abweichung von der mathematischen Erwartung:
Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X Der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz heißt:
.
Beispiel 5. Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.
Lösung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X Und Y sind, wie oben gefunden, gleich Null. Nach der Dispersionsformel bei E(X)=E(j)=0 erhalten wir:
Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y bilden
.
Somit ergibt sich bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein, aber eine Zufallsvariable Y- bedeutsam. Dies ist eine Folge von Unterschieden in ihrer Verteilung.
Beispiel 6. Der Investor verfügt über 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst den erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Finden Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für jede Alternative.
Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Werte für die 3. Alternative berechnet werden:
Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.
Alle Alternativen haben die gleichen mathematischen Erwartungen. Das bedeutet, dass auf lange Sicht alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Maß für das Risiko interpretiert werden – je höher sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko möchte, wird Projekt 1 wählen, da es die kleinste Standardabweichung (0) aufweist. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung – Projekt 4.
Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion vorstellen.
Eigentum 1. Die Varianz eines konstanten Wertes ist Null:
Eigentum 2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Dispersionszeichen entnommen werden:
.
Eigentum 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieses Werts, von dem das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts des Werts selbst subtrahiert wird:
,
Wo 
.
Eigentum 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:
Beispiel 7. Es ist bekannt, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Außerdem ist der mathematische Erwartungswert bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.
Lösung. Bezeichnen wir mit P die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt X1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes X2 = 7 wird 1 − sein P. Lassen Sie uns die Gleichung für den mathematischen Erwartungswert herleiten:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
wo wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: P= 0,3 und 1 − P = 0,7 .
Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Wir berechnen die Varianz dieser Zufallsvariablen mithilfe der Formel aus Eigenschaft 3 der Streuung:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Beispiel 8. Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es akzeptiert den größeren der Werte 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Darüber hinaus ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.
Beispiel 9. In der Urne befinden sich 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden 3 Kugeln gezogen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.
Lösung. Zufälliger Wert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregel. Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen beträgt:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung dieselbe Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist F(X). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, deren Funktionsargument Xichändert sich abrupt; bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hängt aber auch von ihrem Durchschnittswert ab.
Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu ermitteln, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist die Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht diese direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion ermitteln.
Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als ihr bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein spezieller Zweig der Mathematik, der nur von Studierenden höherer Bildungseinrichtungen studiert wird. Magst du Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst davor, sich mit der Normalverteilung, der Ensembleentropie, dem mathematischen Erwartungswert und der Streuung einer diskreten Zufallsvariablen vertraut zu machen? Dann wird dieses Thema für Sie sehr interessant sein. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte dieses Wissenschaftszweigs vertraut.
Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, sollten Sie die ersten Absätze des Artikels nicht vernachlässigen. Der Punkt ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht in der Lage sein werden, mit den unten besprochenen Formeln zu arbeiten.
Es kommt also zu einem zufälligen Ereignis, zu einem Experiment. Als Ergebnis der Maßnahmen, die wir ergreifen, können wir mehrere Ergebnisse erzielen – einige davon treten häufiger auf, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erzielten Ergebnisse einer Art zur Gesamtzahl der möglichen. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie mit der Untersuchung des mathematischen Erwartungswerts und der Streuung kontinuierlicher Zufallsvariablen beginnen.
Schon in der Schule hast du im Mathematikunterricht angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig verwendet und kann daher nicht ignoriert werden. Das Wichtigste für uns im Moment ist, dass wir ihm in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Streuung einer Zufallsvariablen begegnen werden.
Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel ermitteln. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles Verfügbare zusammenzufassen und durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz zu dividieren. Nehmen wir Zahlen von 1 bis 9 an. Die Summe der Elemente ergibt 45 und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.
In wissenschaftlicher Hinsicht ist die Streuung das durchschnittliche Quadrat der Abweichungen der erhaltenen Werte eines Merkmals vom arithmetischen Mittel. Es wird mit einem lateinischen Großbuchstaben D bezeichnet. Was wird zur Berechnung benötigt? Für jedes Element der Folge berechnen wir die Differenz zwischen der vorhandenen Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren sie. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das von uns betrachtete Ereignis geben kann. Als nächstes summieren wir alles, was wir erhalten, und teilen es durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, dividieren Sie durch fünf.
Dispersion hat auch Eigenschaften, die man sich merken muss, um sie bei der Lösung von Problemen nutzen zu können. Wenn Sie beispielsweise eine Zufallsvariable um das X-fache erhöhen, erhöht sich die Varianz um das X-Quadrat (d. h. X*X). Er ist nie kleiner als Null und hängt nicht davon ab, dass Werte um gleiche Beträge nach oben oder unten verschoben werden. Darüber hinaus ist bei unabhängigen Versuchen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.
Jetzt müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.
Nehmen wir an, wir haben 21 Experimente durchgeführt und 7 verschiedene Ergebnisse erhalten. Wir haben jeden von ihnen 1, 2, 2, 3, 4, 4 bzw. 5 Mal beobachtet. Wie hoch wird die Varianz sein?
Berechnen wir zunächst das arithmetische Mittel: Die Summe der Elemente beträgt natürlich 21. Teilen Sie es durch 7 und erhalten Sie 3. Subtrahieren Sie nun 3 von jeder Zahl in der ursprünglichen Reihenfolge, quadrieren Sie jeden Wert und addieren Sie die Ergebnisse. Das Ergebnis ist 12. Jetzt müssen wir nur noch die Zahl durch die Anzahl der Elemente dividieren, und das ist scheinbar alles. Aber da ist ein Fang! Lassen Sie uns darüber diskutieren.
Es stellt sich heraus, dass bei der Berechnung der Varianz der Nenner eine von zwei Zahlen enthalten kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (was im Wesentlichen dasselbe ist). Wovon hängt das ab?
Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, müssen wir N in den Nenner setzen. Wenn in Einheiten, dann N-1. Wissenschaftler haben beschlossen, die Grenze ganz symbolisch zu zeichnen: Heute geht sie durch die Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, teilen wir die Menge durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.
Kehren wir zu unserem Beispiel der Lösung des Problems der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts zurück. Wir erhielten eine Zwischenzahl 12, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, werden wir die zweite Option wählen. Die Antwort lautet also: Die Varianz beträgt 12 / 2 = 2.
Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel berücksichtigen müssen. Die mathematische Erwartung ist das Ergebnis der Addition aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der erhaltene Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für das gesamte Problem erhalten wird, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse darin berücksichtigt werden.
Die Formel für die mathematische Erwartung ist recht einfach: Wir nehmen das Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zusammenhängt, ist nicht schwer zu berechnen. Beispielsweise ist die Summe der Erwartungswerte gleich dem Erwartungswert der Summe. Dasselbe gilt auch für die Arbeit. Nicht jede Größe in der Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht die Durchführung solch einfacher Operationen. Nehmen wir das Problem und berechnen wir die Bedeutung zweier Konzepte, die wir gleichzeitig untersucht haben. Außerdem waren wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit zum Üben.
Wir führten 50 Versuche durch und erhielten 10 Arten von Ergebnissen – Zahlen von 0 bis 9 –, die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Dies sind jeweils: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Denken Sie daran, dass Sie zum Erhalten von Wahrscheinlichkeiten die Prozentwerte durch 100 dividieren müssen. Somit erhalten wir 0,02; 0,1 usw. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems für die Varianz einer Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert präsentieren.
Das arithmetische Mittel berechnen wir nach der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10 = 5.
Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse „in Stücken“ umwandeln, um das Zählen zu erleichtern. Wir erhalten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Von jedem erhaltenen Wert subtrahieren wir das arithmetische Mittel und quadrieren anschließend jedes der erhaltenen Ergebnisse. Sehen Sie sich am Beispiel des ersten Elements an, wie das geht: 1 - 5 = (-4). Als nächstes: (-4) * (-4) = 16. Für andere Werte führen Sie diese Operationen selbst aus. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erhalten Sie nach der Addition 90.
Fahren wir mit der Berechnung der Varianz und des Erwartungswerts fort, indem wir 90 durch N dividieren. Warum wählen wir N statt N-1? Richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente übersteigt 30. Also: 90/10 = 9. Wir haben die Varianz erhalten. Wenn Sie eine andere Nummer erhalten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich haben Sie bei den Berechnungen einen einfachen Fehler gemacht. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und wahrscheinlich wird alles zusammenpassen.
Denken Sie abschließend an die Formel für den mathematischen Erwartungswert. Wir geben nicht alle Berechnungen an, sondern verfassen lediglich eine Antwort, die Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Der erwartete Wert beträgt 5,48. Erinnern wir uns nur daran, wie Operationen ausgeführt werden, indem wir die ersten Elemente als Beispiel verwenden: 0*0,02 + 1*0,1... und so weiter. Wie Sie sehen, multiplizieren wir einfach den Ergebniswert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
Ein weiteres Konzept, das eng mit der Streuung und dem mathematischen Erwartungswert zusammenhängt, ist die Standardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben „Sigma“ bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie stark die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu ermitteln, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.
Wenn Sie ein Normalverteilungsdiagramm zeichnen und die quadratische Abweichung direkt darauf sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (Mittelwert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, sodass die Flächen der resultierenden Figuren gleich sind. Die Größe des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf die horizontale Achse stellt die Standardabweichung dar.
Wie aus den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen hervorgeht, ist die Berechnung der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts aus arithmetischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das an Hochschulen verwendete Programm zu verwenden – es heißt „R“. Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.
Sie geben beispielsweise einen Wertevektor an. Dies geschieht wie folgt: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Streuung und mathematische Erwartung sind Faktoren, ohne die es schwierig ist, etwas in der Zukunft zu berechnen. Im Hauptstudium der Vorlesungen an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Fachstudiums besprochen. Gerade aufgrund des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, fallen viele Studierende im Programm sofort ins Hintertreffen und erhalten am Ende des Kurses schlechte Noten, was ihnen die Stipendien vorenthält.
Üben Sie mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag und lösen Sie Aufgaben, die denen in diesem Artikel ähneln. Dann werden Sie bei jedem Test in der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Lage sein, die Beispiele ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zu bewältigen.
Die Varianz einer Zufallsvariablen charakterisiert das Maß für die Streuung einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.
Wenn eine Zufallsvariable x einen mathematischen Erwartungswert hat M X, Das Streuung Zufallsvariable x ist die Menge D x = M (X - M X) 2 .
Das lässt sich leicht zeigen D x = M (X - M X) 2 =M X 2 - M (x)2.
Diese universelle Formel gilt gleichermaßen für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen. Größe M X 2 > für diskrete bzw. kontinuierliche Zufallsvariablen wird anhand der Formeln berechnet
, 
.
Um das Maß der Streuung der Werte einer Zufallsvariablen zu bestimmen, wird es häufig verwendet Standardabweichung, bezogen auf die Streuung durch die Beziehung .
Grundlegende Eigenschaften der Dispersion:
51) Die Verteilungsfunktion ist die Funktion , die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der auf der Zahlenachse durch einen Punkt dargestellt wird, der links vom Punkt x liegt, d.h.
Manchmal wird anstelle des Begriffs „Verteilungsfunktion“ der Begriff „Integralfunktion“ verwendet.
Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
1. Die Werte der Verteilungsfunktion gehören zum Segment: 0 F(x) 1
2. F(x) ist eine nicht abnehmende Funktion, d.h. F(x 2) F(x 1), wenn x 2 >x 1
Folgerung 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen im Intervall (a,b) enthaltenen Wert annimmt, ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion in diesem Intervall:
P(ein X Beispiel 9. Die Zufallsvariable X ist durch die Verteilungsfunktion gegeben: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X als Ergebnis des Tests einen Wert annimmt, der zum Intervall (0;2) gehört: P(0 Lösung: Da im Intervall (0;2) gemäß der Bedingung F(x)=x/4+1/4 gilt, gilt F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Also P(0 Folgerung 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X einen bestimmten Wert annimmt, ist Null. Folgerung 3. Wenn mögliche Werte einer Zufallsvariablen zum Intervall (a;b) gehören, dann: 1) F(x)=0 für x a; 2) F(x)=1 bei x b. Der Graph der Verteilungsfunktion liegt in dem durch die Geraden y=0, y=1 begrenzten Band (erste Eigenschaft). Wenn x im Intervall (a;b), das alle möglichen Werte der Zufallsvariablen enthält, zunimmt, „steigt“ der Graph. Bei x a sind die Ordinaten des Graphen gleich Null; bei x b sind die Ordinaten des Diagramms gleich eins: Verteilungsfunktion zufällige Variable X Funktion genannt F(x), für jeden ausdrücken X die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X wird einen Wert kleiner als annehmen X: Funktion F(x) angerufen Verteilungsfunktion oder das integrale Verteilungsgesetz. Die Methode zur Angabe einer kontinuierlichen Zufallsvariablen mithilfe der Verteilungsfunktion ist nicht die einzige. Es ist notwendig, eine Funktion zu definieren, die die Wahrscheinlichkeiten widerspiegelt, dass ein Zufallspunkt in verschiedene Teile des Bereichs möglicher Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen fällt. Das heißt, um einen Ersatz für Wahrscheinlichkeiten bereitzustellen p ich
für eine diskrete Zufallsvariable im kontinuierlichen Fall. Diese Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Wahrscheinlichkeitsdichte (Verteilungsdichte, Differentialfunktion) zufällige Variable X Funktion genannt f(x), Dies ist die erste Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion.
Es gelten folgende Grenzrelationen:
.
Thematische Materialien:
Aktualisiert: 27.08.2023
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